Program linear adalah salah satu bidang matematika terapan yang banyak digunakan untuk memecahkan permasalahan yang melibatkan pembatasan suatu hal.
Contoh:
- Lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas pendidikan tertentu
- batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian
- batas berat badan seorang anak yang diperbolehkan menaiki suatu wahana permainan
B. MODEL MATEMATIKA PADA PROGRAM LINEAR
Model matematika adalah suatu rumusan matematika (dapat berbentuk persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran seseorang ketika menerjemahkan suatu masalah program linear ke dalam bahasa matematika. Suatu model matematika dikatakan baik apabila dalam model tersebut hanya memuat bagian-bagian yang perlu saja.
Untuk menyusun suatu model matematika dalam bentuk pertidaksamaan, diperlukan keterampilan memahami implikasi dari semua pernyataan yang memenuhi syarat-syarat tertentu.
Contoh:
Model matematika pada permasalahan program linear pada umunya membahas beberapa hal sebagai berikut:
- Model matematika berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel yang merupakan bagian kendala-kendala yang harus dipenuhi oleh variabel itu sendiri.
- Model matematika berkaitan dengan fungsi sasaran yang hendak dioptimalkan (minimalkan atau maksimalkan)
Contoh 1:
Seorang penjahit membuat model 2 model gorden. Model pertama memerlukan 1 meter kain polos dan 1,5 meter kain bercorak. Model kedua memerlukan 2 meter kain polos dan 0,5 meter kain bercorak. Ia memiliki persediaan 20 meter kain polos dan 10 meter kain bercorak. Jika penjahit tersebut dapat membuat x gorden model pertama dan y gorden model kedua, maka buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
☛ Misal :
banyak gorden model pertama = x potong
banyak gorden model kedua = y potong
☛ Permasalahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk tabel berikut:
- x + 2y ≤ 20
- 1,5x + 0,5y ≤ 10 ⇔ 15x + 5y ≤ 100 ⇔ 3x + y ≤ 20
- Banyaknya gorden model pertama dan gorden model kedua tidak mungkin negatif, maka pertidaksamaannya: x ≥ 0 dan y ≥ 0
Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah x + 2y ≤ 20, 3x + y ≤ 20, x ≥ 0 dan y ≥ 0.
Contoh 2:
Sebuah perusahaan kue setiap hari memproduksi 2 jenis kue, yaitu donat dan serabi. Untuk membuat donat diperlukan 20 gram tepung terigu dan 10 gram gula, sedangkan untuk membuat serabi diperlukan 10 gram tepung terigu dan 10 gram gula. Setiap hari, perusahaan hanya menyediakan tepung terigu dan gula masing-masing tidak lebih dari 800 kg dan 500 kg. Jika setiap hari dibuat x donat dan y serabi, maka buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!
Jawab:
☛ Misal :
banyak donat = x buah
banyak serabi = y buah
☛ Permasalahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk tabel berikut:
- 20x + 10y ≤ 800.000 ⇔ 2x + y ≤ 80.000
- 10x + 10y ≤ 500.000 ⇔ x + y ≤ 50.000
- Banyaknya donat dan serabi tidak mungkin negatif, maka pertidaksamaannya: x ≥ 0 dan y ≥ 0
C. PENYELESAIAN MASALAH PROGRAM LINEAR
Dalam program linear, bentuk objektif atau fungsi objektif adalah bentuk atau fungsi f(x, y) = ax + by yang hendak dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan). Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan metode uji titik pojok (titik sudut).
Langkah-langkah untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan menggunakan metode uji titik pojok adalah sebagai berikut:
- Menentukan koordinat titik-titik sudut daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut
- Menggambar daerah penyelesaian dari kendala-kendala dalam masalah program linear tersebut
- Mensubstitusi koordinat setiap titik pojok ke dalam fungsi objektif
- Membandingkan nilai-nilai fungsi objektif tersebut. Nilai terbesar berarti menunjukkan nilai maksimum dari fungsi f(x, y), sedangkan nilai terkecil menunjukkan nilai minimum dari fungsi f(x, y)
Contoh 1:
Suatu program linear dapat diterjemahkan ke dalam model matematika x + 3y ≤ 9; 2x + y ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0; dan x, y ∈ R. Tentukan titik maksimum fungsi objektif f(x, y) = x + 2y dan nilai maksimumnya!
Penyelesaian:
☛ Titik potong terhadap sumbu x dan y:
▸ x + 3y ≤ 9
▸ 2x + y ≤ 8
☛ Grafik:
☛ Titik potong B:
x + 3y = 9 | x2 | 2x + 6y = 18
2x + y = 8 | x1 | 2x + y = 8 -
5y = 10
y = 10/5
y = 2
y = 2 ⇔ x + 3y = 9
x + 3(2) = 9
x + 6 = 9
x = 9 - 6
x = 3
Koordinat titik potong adalah B(3, 2)
☛ Uji Titik Pojok:
Jadi, titik maksimum dari f(x, y) = x + 2y adalah 9, sedangkan nilai maksimumnya
adalah 7.
Contoh 2:
Seorang pedagang sandal memiliki modal lebih dari Rp800.000,00. Ia merencanakan membeli dua jenis sandal, yaitu sandal pria dan sandal wanita. Harga beli sandal pria Rp20.000,00 per pasang dan keuntungan dari penjualan sandal pria Rp6.000,00 per pasang, sedangkan harga beli sandal wanita Rp16.000,00 per pasang dan keuntungan dari penjualan sandal wanita Rp5.000,00 per pasang. Mengingat kapasitas kios, pedagang tersebut akan membeli sandal sebanyak-banyaknya 450 pasang. Tentukan banyaknya sandal pria dan sandal wanita yang harus dibeli agar mendapat keuntungan maksimum!
Penyelesaian:
Misal :
banyak sandal pria = x
banyak sandal wanita = y
Permasalahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk tabel berikut:
- x + y ≤ 450
- 20.000x + 16.000y ≥ 800.000 ⇔ 5x + 4y ≥ 200
- x ≥ 0
- y ≥ 0
- Z = 6.000x + 5.000y
▸ x + y ≤ 450
▸ 5x + 4y ≥ 200
☛ Grafik:
☛ Uji Titik Pojok:
LATIHAN SOAL!
Sebuah adonan roti basah dibuat dengan 2 kg tepung terigu dan 2 kg gula. Sedangkan sebuah adonan roti kering dibuat menggunakan 1 kg tepung terigu dan 2 kg gula. Ibu memiliki persediaan tepung terigu sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 10 kg. Setiap satu adonan kue basah dapat memberikan keuntungan Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan keuntungan Rp60.000,00. Tentukan banyaknya kombinasi adonan roti yang dapat dibuat dan keuntungan maksimum yang diperoleh Ibu!
Semoga materi dan contoh soal tentang Program Linear ini bisa bermanfaat :)
Good luck guys~
No comments:
Post a Comment