LIMIT FUNGSI : Materi Lengkap, Sifat, beserta Contoh Soal

A.  PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

Limit adalah pendekatan dalam matematika. Nilai suatu limit fungsi di suatu titik dikatakan ad ajika dan hanya jika nilai limit kanan fungsi sama dengan nilai limit kiri fungsi tersebut.

B.  SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI

Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang memiliki limit untuk x ➝ a, a ∈ R, maka berlaku:

Contoh:

C. MENENTUKAN LIMIT FUNGSI ALJABAR

⋆   Limit fungsi f(x) untuk mendekati a

Untuk menentukan limit fungsi f(x) mendekati a dapat dilakukan dengan 3 cara, antara lain:

1.  Substitusi Langsung

Pada limit f(x) mendekati a, nilai x = a disubstitusikan ke f(x). Jika diperoleh hasil suatu bilangan L, maka nilai limit f(x) mendekati a = L.

Contoh:

2.  Pemfaktoran

Jika nilai limit f(x)/g(x) mendekati a setelah disubstitusikan x = a adalah f(a)/g(a) = 0/0, maka nilai tersebut bukan hasil limitnya. Untuk mendapatkan hasil limit f(x)/g(x), maka dilakukan pemfaktoran pada f(x)/g(x).

Contoh:

3.  Perkalian dengan Bentuk Sekawan

Apabila ditemukan limit dengan bentuk akar dan tidak dapat difaktorkan secara langsung, maka dapat dikalikan dengan bentuk sekawannya.

Contoh:

⋆   Limit fungsi aljabar untuk x ➝∞

1.  Jika derajat f(x) = derajat g(x), maka:

dengan a merupakan koefisien pangkat tertinggi dari f(x) dan p merupakan koefisien pangkat tertinggi dari g(x).

Contoh:

2.  Jika derajat f(x) > derajat g(x) dan koefisien pangkat tertinggi f(x) bernilai positif, maka:

Contoh:

3.  Jika derajat f(x) > derajat g(x) dan koefisien pangkat tertinggi f(x) bernilai negatif, maka:

Contoh:

4.  Jika derajat f(x) < g(x), maka:

Contoh:

⋆   Limit fungsi irasional

Untuk menentukan nilai limit fungsi irasional.

Jika nilai a = p, maka:

Contoh:

LATIHAN SOAL

Tentukan nilai dari:

Semoga materi dan contoh soal tentang Limit Fungsi ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~

FUNGSI KUADRAT : Konsep, Sifat Grafik, dan Menggambar Grafik

A. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

f(x) = y = ax² + bx + c

dengan syarat a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.

Untuk syarat a ≠ 0 menjamin bahwa f(x) = y = ax² + bx + c bukan fungsi linear.

B. Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dapat digambarkan dalam bentuk grafik atau kurva yang berupa parabola.

Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Jika a > 0, maka grafik terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum.
2. Jika a < 0, maka grafik terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum.
3. Jika D > 0, maka grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
4. Jika D = 0, maka grafik memotong sumbu x di satu titik atau menyinggung sumbu x.
5. Jika D < 0, maka grafik tidak memotong sumbu x.

Fungsi D < 0 mempunyai harga definit, yaitu:

• Definit positif

Fungsi akan selalu bernilai positif untuk setiap x atau grafik fungsi kuadrat seluruhnya berada di atas sumbu x dengan syarat a > 0 dan D < 0.

• Definit Negatif

Fungsi akan selalu bernilai negatif untuk setiap x atau grafik fungsi kuadrat seluruhnya berada di bawah sumbu x dengan syarat a < 0 dan D < 0.

Agar lebih memahami mengenai bentuk grafik fungsi kuadrat, perhatikan gambar berikut:

Contoh:

Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x² + 3mx + (4m + 1). Tentukan batas-batas nilai m agar grafik fungsi f(x) memotong sumbu x di dua titik yang berbeda!

Penyelesaian:

Fungsi kuadrat f(x) = x² + 3mx + (4m + 1)

didapat a = 1

             b = 3m

             c = (4m + 1)

Agar grafik fungsi f(x) memotong sumbu x di dua titik yang berbeda, 

maka syaratnya : D > 0

sehingga:

D > 0

b² - 4ac > 0

(3m)² - 4.1.(4m + 1) > 0

9m² - 16m - 4 > 0

9m² - 18m + 2m - 4 > 0

9m (m - 2) + 2 (m - 2) > 0

(9m + 2) (m - 2) > 0

9m + 2 = 0      atau    m - 2 = 0

      9m = -2                     m = 2

        m = -2/9

Jadi, batas-batas nilai m yang memenuhi agar grafik fungsi f(x) memotong sumbu x di dua titik yang berbeda adalah m < -2/9 atau m > 2.

C. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c memiliki sumbu simetri, nilai ekstrim, dan titik puncak.

• Sumbu Simetri

Sumbu simetri adalah garis yang membagi grafik fungsi kuadrat menjadi dua bagian yang sama (simetris), yaitu dengan persamaan:

• Nilai Ekstrim

Nilai ekstrim fungsi kuadrat terdiri dari nilai maksimum dan nilai minimum. Nilai ekstrim juga bisa disebut dengan nilai optimum.

Nilai ekstrim fungsi kuadrat dapat dicari dengan:

• Koordinat Titik Puncak

Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah

 

Berikut adalah langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat. Titik potong grafik terhadap sumbu x, ketika y = 0. Titik potong grafik terhadap sumbu y, ketika x = 0.
2. Menentukan sumbu simetri.
3. Menentukan titik ekstrim atau nilai optimum.
4. Menentukan koordinat titik puncak.
5. Menghubungkan titik-titik yang diletakkan pada Koordinat Cartesius sehingga membentuk parabola atau kurva.

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² - 6x + 5!

Penyelesaian:

Fungsi kuadrat y = x² - 6x + 5

didapat a = 1

             b = -6

             c = 5

⋆ Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat

   - Titik potong terhadap sumbu x (y = 0)

      x² - 6x + 5 = 0

      x² - 5x - x + 5 = 0

      x(x - 5) - (x - 5) = 0

      (x - 1)(x - 5) = 0

      x - 1 = 0      atau     x - 5 = 0

            x = 1                      x = 5

      Diperoleh titik potong (1, 0) dan (5, 0)

   - Titik potong terhadap sumbu y (x = 0)

     y = x² - 6x + 5

     y = 0² - 6(0) + 5

     y = 0 - 0 + 5

     y = 5

     Diperoleh titik potong (0, 5)

⋆ Menentukan sumbu simetri

   x = -b/2a

      = -(-6)/2.1

      = 6/2

      = 3

   Sumbu simetri: x = 3

⋆ Menentukan titik ekstrim atau nilai optimum

   D = b² - 4ac

       = (-6)² - 4.1.5

       = 36 - 20

       = 16

    y = D/-4a

       = 16/-4.1

       = 16/-4

       = -4

   Titik ekstrim: y = -4

⋆ Menentukan koordinat titik puncak

   Koordinat titik puncak = (x, y)

                                        = (-b/2a , D/-4a)

                                        = (3, -4)

⋆ Grafik fungsi kuadrat:

   

Semoga materi dan contoh soal tentang Fungsi Kuadrat ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~