OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT : Pengertian, Sifat, Contoh Soal dan Pembahasan

✦  Penjumlahan Bilangan Bulat

Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif) dijumlahkan, maka hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

Contoh:

1.  125 + 234 = 359                        Keterangan: tanda sama-sama positif 

2.  -58 + (-72) = -(58 + 72) = -130  Keterangan: tanda sama-sama negatif

Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), maka kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memperhatikan tanda. Hasilnya berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai besar. 

Contoh:

1.  75 + (-90) = -(90 – 75 ) = - 15  Keterangan: 90 lebih besar dari 75 maka tanda negatif

2.  (-63) + 125 = 125 – 63 = 62     Keterangan: 125 lebih besar dari 63 maka tanda positif 

✦  Pengurangan Bilangan Bulat

Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan sama artinya dengan menambah dengan .

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b ,maka berlaku:

a – b = a + (-b)

Contoh:

1.  45 – 67 = …

     Bisa diubah menjadi 45 + (-67 ) = -22           (lawan dari 67 yaitu -67)

2.  -35 – 52 = …

     Bisa diubah menjadi -35 + (-52) = -87           (lawan dari 52 yaitu -52)

3.  24 – (-17) = …

     Bisa diubah menjadi 24 + 17 = 41                 (lawan dari -17 yaitu 17)

4.  -63 – (-29) = …

     Bisa diubah menjadi: -63 + 29 = 34               (lawan dari -29 yaitu 29)

✦  Perkalian Bilangan Bulat

Kalian telah mengetahui bahwa perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama.

Perhatikan contoh berikut.

4 × 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

5 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

Meskipun hasilnya sama antara perkalian 4 × 5 dan 5 × 4 tetapi artinya berbeda.

Menghitung hasil perkalian bilangan bulat:

2 × 4 = 4 + 4 = 8

2 × 3 = 3 + 3 = 6

2 × 2 = 2 + 2 = 4

2 × 1 = 1 + 1 = 2

2 × 0 = 0 + 0 = 0

-2 × 4    =   - (2 × 4) = - (4 + 4) = -8

-2 × 3    =   - (2 × 3) = - (3 + 3) = -6

-2 × 2    =   - (2 × 2) = - (2 + 2) = -4

-2 × 1    =   - (2 × 1) = - (1 + 1) = -2

-2 × 0    =   - (2 × 0) = - (0 + 0) = 0

2 × (-2) =   (-2) + (-2) = -4

2 × (-1) =  (-1) + (-1) = -2

(-2) × (-3) = -(2 × (-3)) = -((-3) + (-3)) = 6

(-2) × (-2) = -(2 × (-2)) = -((-2) + (-2)) = 4

(-2) × (-1) = -(2 × (-1)) = -((-1) + (-1)) = 2

Jika kalian mengamati  perkalian bilangan di atas, maka akan memperoleh sifat-sifat sebagai berikut.

Jika p dan q adalah bilangan bulat maka:

1)p × q = pq

2)(-p) × q = -(p × q)

3)p × (-q) = -(p × q) = -pq

4)(-p) × (-q) = pq

Kesimpulan:

• Positif × positif = positif
• Positif × negatif = negatif
• Negatif × positif = negatif
• Negatif × negatif = positif

✦  Pembagian Bilangan Bulat

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian. Coba ingat kembali sifat perkalian pada bilangan bulat. Dari sifat tersebut diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Untuk setiap p , q , r bilangan bulat, q ≠ 0, dan memenuhi  p : q = r berlaku:

𝅇  Jika p , q bertanda sama, maka r adalah bilangan bulat positif.

𝅇  Jika p , q berlainan tanda, maka r adalah bilangan bulat negatif.

Contoh:

1.  24 : 6 = 4

2.  (-24) : (-6) = 4

3.  24 : (-6) = -4

4.  (-24) : 6 = -4

Kesimpulan:

• Positif : positif = positif
• Positif : negatif = negatif
• Negatif : positif = negatif
• Negatif : negatif = positif

Operasi Hitung Campuran pada Bilangan Bulat

Aturan operasi hitung campuran;

1.Operasi yang berada dalam kurung dikerjakan terlebih dahulu.

2.Dahulukan bilangan berpangkat.

3.Dahulukan perkalian dan pembagian sebelum penjumlahan dan pengurangan.

4.Jika ada perkalian dan pembagian tanpa tanda kurung, maka kerjakan berurutan dari kiri ke kanan.

Contoh:

a)7 + 3 × 5 = …

     Penyelesaian:

     “Ingat, mengerjakan perkalian terlebih dahulu”

     7 + 3 × 5 = 7 + 15

                    = 22

b)-8 + (24 – 30) : (-2) = …

     Penyelesaian:

     “Ingat, pastikan untuk mengerjakan yang ada di dalam kurung terlebih dahulu, kemudian pembagian”

     -8 + ( 24 - 30 ) : (-2) = -8 + (-6) : (-2)

                                       = -8 + 3

                                       = -5

c) 20 + 6 × (-3) – 42 : 7 = …

  Penyelesaian:

     “Ingat, pastikan untuk mengerjakan perkalian dan pembagian terlebih dahulu”

     20 + 6 × (-3) – 42 : 7 = 20 + (6 × (-3)) – (42 : 7)

                                       = 20 + (-18) – 6

                                       = 20 + (-18) + (-6)

                                       = 2 + (-6)

                                       = -4

d)(-8) – 6 × (-5) : 15 – 9 = …

     Penyelesaian:

     “Ingat, pastikan untuk mengerjakan perkalian dan pembagian terlebih dahulu, karena perkalian dan pembagian sama-sama kuat, sehingga wajib untuk mengerjakannya dari sebelah kiri yakni perkalian dulu baru ke soal pembagian”

     (-8) – 6 × (-5) : 15 – 9 = (-8) – (6 × (-5)) : 15 – 9

                                         = (-8) – (-30) : 15 – 9

                                         = (-8) – (-2) – 9

                                         = (-8) + 2 – 9

                                         = (-6) – 9

                                         = (-6) + (-9)

                                         = -15

e)(-100) × (-6) : (-50) + (-400) – (-700) = …

    Penyelesaian:

    “Ingat, untuk soal ini tidak ada masalah, berarti dikerjakan dari sebelah kiri ke kanan”

    (-100) × (-6) : (-50) + (-400) – (-700) = 600 : (-50) + (-400) – (-700)

                                                              = (-30) + (-400) – (-700)

                                                              = (-430) – (-700)

                                                              = -430 + 700

                                                              = 270

Semoga materi dan contoh soal tentang Operasi Hitung Bilangan Bulat ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~

BILANGAN BULAT : Pengertian, Contoh Soal dan Pembahasan

⧪  Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah sistem bilangan yang merupakan himpunan dari semua bilangan (bukan pecahan) yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol {0}, dan bilangan bulat positif.

• Bilangan bulat positif = { 1  ,  2  ,  3  ,  4  ,  5  ,  6  ,  7  , . . . }
• Bilangan bulat Negatif = { . . . , -7, - 6 , - 5 , -4 , - 3 , - 2 , - 1 }
• Bilangan nol {0} bukan merupakan bilangan positif maupun bilangan negatif

Jadi, himpunan bilangan bulat = { .. . , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . .}

⧪  Bilangan Cacah

Bilangan Cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Bilangan cacah selalu tidak bertanda negatif.

Himpunan bilangan Cacah = { 0, 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …}

⧪  Bilangan Asli

Bilangan asli adalah himpunan bagian dari bilangan bulat yang merupakan bilangan bulat positif yang dimulai dari angka 1.

Himpunan bilangan asli = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … }

⧪  Bilangan Prima

Bilangan prima adalah bilangan asli yang tepat memiliki dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri.

Himpunan bilangan prima = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , . . . }

⧪  Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima.

Himpunan bilangan komposit = { 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 , 16 , 18 , 20 , 21 , 22 , …}

⧪  Bilangan Genap

Bilangan Genap adalah penggolongan bilangan bulat yang habis dibagi 2.

Himpunan bilangan genap = { -8 , - 6 , -4 , - 2 , 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , …}

Catatan: secara teoritis 0 merupakan bilangan genap.

Ciri-Ciri Bilangan Genap:

1. Merupakan bilangan bulat
2. Habis dibagi 2
3. Berakhiran dengan angka 0 , 2 , 4 , 6 , 8

Misalkan:

Angka 28 adalah bilangan genap

Penjelasan:

✦  Angka 28 adalah bilangan bulat

✦ Angka 28 : 2 = 14. Hasilnya 14 (bulat), sehingga habis di bagi 2

✦  Angka 28 berakhiran dengan angka 8

Contoh:

›  Bilangan genap antara 1 - 25 : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24

›  Bilangan genap positif : 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , …

›  Bilangan genap negatif : … , -10 , -8 , -6 , -4 , -2

›  Contoh bilangan genap antara -1 dan 10 : -8 , -6 , -4 , -2 , 0 , -2 , -4 , -6 , -8

⧪  Bilangan Ganjil

Bilangan ganjil adalah penggolongan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2.

Himpunan bilangan ganjil ={ …, -9 , -7 ,-5 ,-3 ,-1 , 1 , 3 , 5 , 7 , 9 ,…}

Ciri-Ciri Bilangan Ganjil:

1. Merupakan bilangan bulat
2. Tidak habis dibagi 2
3. Berakhiran dengan angka 1 , 3 , 5 , 7 , 9

Misalkan:

Angka 17 adalah bilangan ganjil

Penjelasan:

✦  Angka 17 termasuk bilangan bulat

✦ Angka 17 : 2 = 8,5 menghasilkan nilai desimal (tidak bulat) sehingga tidak habis dibagi 2

✦  Angka 17 berakhiran dengan angka 7

Contoh:

›  Bilangan ganjil positif : 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19,…

›  Bilangan ganjil negatif : … , -11 , -9 , -7 , -5 ,- 3 , -1

›  Bilangan ganjil antara -10 dan 10 : -9 , -7 , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 , 5 , 7 , 9

⧪  Bilangan Kuadrat

Bilangan Kuadrat adalah sebuah bilangan bulat positif yang diperoleh dari hasil perkalian suatu bilangan tertentu dengan bilangan itu sendiri sebanyak satu kali.

Himpunan bilangan kuadrat = {1 × 1 , 2 × 2 , 3 × 3 , 4 × 4 , 5 × 5 ,6 × 6 ,7 × 7, …} = {1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , …}

Semoga materi dan contoh soal tentang  ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~

STATISTIKA : Konsep Dasar, Populasi, Sampel, dan Penyajian Data

1. KONSEP DASAR STATISTIKA
a) Statistik dan Statistika
Statistik adalah kumpulan data tentang suatu kejadian dalam jangka waktu tertentu, sedangkan statistika adalah ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, penyusunan, pengelolaan, penyajian, dan penganalisaan data seta mengujinya sehingga diperoleh kesimpulan.
Statistika dibagi menjadi 2 bagian, yaitu:
✦ Statistika Deduktif, yaitu cara menyimpulkan data dan menyusun data, mengolah dan menganalisis data, serta menyajikan data dalam bentuk kurva/diagram.
✦ Statistika Induktif, yaitu cara yang berkaitan dengan menarik kesimpulan, menafsirkan parlementer dan menguji hipotesa.
Contoh
>  Statistik perdagangan antara negara-negara di Asia
>  Statistik jumlah lulusan siswa SMK dari tahun ke tahun

b) Populasi dan Sampel
Populasi adalah semua objek yang diteliti, sedangkan sampel adalah bagian dari populasi yang diteliti dan dijadikan dasar dalam penarikan kesimpulan mengenai populasi.

     Contoh:

     Seorang dokter ingin mengetahui terjangkit atau tidaknya penyakit malaria di Kota Jayapura. Untuk itu, ia memeriksa 25 orang di masing-masing Distrik yang ada di Kota Jayapura. Tentukan populasi dan sampel dari penelitian tersebut!

     Jawab

     > Populasi : Semua orang di masing-masing Distrik yang ada di Kota Jayapura

     > Sampel : 25 orang di masing-masing Distrik yang ada di Kota Jayapura

     

     c) Datum dan Data

     Datum merupakan fakta tunggal, sedangkan data merupakan kumpulan dari datum. Misalkan, nilai ulangan matematika 10 siswa kelas XII SMK PGRI Jember sebagai berikut:

     70 90 60 80 50 80 70 90 50 100

     Data tersebut terdiri atas 10 datum. Datum terbesar adalah 100 dan datum terkecil adalah 50.

2. PENYAJIAN DATA

Untuk keperluan laporan dan analisis suatu data, maka data yang telah dikumpulkan perlu disusun dan disajikan dalam bentuk yang mudah dimengerti dan ditafsirkan. Penyajian data yang sering digunakan adalah tabel dan diagram.

a) Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

1)  Tabel Baris Kolom

Tabel baris kolom digunakan untuk ukuran kecil.

Contoh

Seorang petugas administrasi SMK PGRI Jember mendapatkan tugas untuk mendata banyak lulusan menurut jenis kelamin dari tahun 2016 sampai 2020. Berikut data lulusan SMK PGRI Jember menurut jenis kelamin dari tahun 2016 sampai 2020:

✦ 182 siswa lulus di tahun 2016 yang terdiri atas 100 laki-laki dan 82 perempuan

✦ 170 siswa lulus di tahun 2017 yang terdiri atas 80 laki-laki dan 90 perempuan

✦ 185 siswa lulus di tahun 2018 yang terdiri atas 90 laki-laki dan 95 perempuan

✦ 195 siswa lulus di tahun 2019 yang terdiri atas 95 laki-laki dan 100 perempuan

✦ 210 siswa lulus di tahun 2020 yang terdiri atas 110 laki-laki dan 100 perempuan

Untuk keperluan laporan agar mudah dimengerti, maka data tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel baris kolom.

Berikut tabel lulusan di SMK PGRI Jember menurut jenis kelamin dari tahun 2016 sampai 2020 sebagai berikut:

2)  Tabel Distribusi Frekuensi

Berikut langkah-langkah untuk membuat tabel distribusi frekuensi.

✦ Menentukan jangkauan (Range)

    Jangkauan adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil.

    

✦ Menentukan banyak kelas

    Cara menentukan banyaknya kelas (k) dapat menggunakan aturan Sturgess.

    

    k = banyak kelas

    n = banyaknya data

✦ Menentukan panjang/interval kelas

    

    p = panjang/interval kelas

    J = Jangkauan

    k = banyak kelas

✦ Menentukan batas, tepi, lebar kelas, dan titik tengah

    ⧫  Batas Kelas

       Batas kelas adalah dua buah nilai yang membatasi suatu kelas dengan kelas lain. Batas kelas ada dua, yaitu batas bawah kelas (Bb) dan batas atas kelas (Ba)
    ⧫  Tepi Kelas
        Tepi bawah = batas bawah – 0,5
        Tepi atas = batas atas – 0,5
    ⧫  Lebar Kelas
        Lebar kelas = tepi atas – tepi bawah
    ⧫  Titik Tengah
        Titik Tengah = 1/2 (batas atas + batas bawah)

b)  Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Penyajian data dalam bentuk diagram bertujuan untuk menyampaikan data dalam bentuk gambar. Diagram-diagram yang menyajikan data digunakan untuk mendeskripsikan suatu data dengan lebih mudah dan untuk menganalisis lebih lanjut. Berikut penyajian data dalam bentuk histogram:
Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram adalah bentuk penyajian daftar distribusi frekuensi dengan menggunakan batang-batang atau persegi-persegi panjang yang lebarnya sama. Histogram hampir sama dengan diagram batang, tetapi antara batang yang satu dengan batang yang lain tidak terdapat jarak. Pada histogram, setiap persegi panjang menunjukkan frekuensi kelas tertentu. Lebar persegi panjang menunjukkan panjang kelas interval (dapat diwakili titik tengah), sedangkan tinggi persegi panjang menunjukkan frekuensi kelas tersebut. Frekuensi selalu ditempatkan pada sumbu tegak. Apabila titik-titik tengah dari puncak histogram tersebut dihubungkan dengan garis, maka garis yang menghubungkan itu dinamakan poligon frekuensi.
Contoh

Hasil pengukuran berat badan siswa kelas XII:

Sajikan data tersebut dalam Histogram!

Jawab

⧫  n = 20

⧫  Jangkauan = Berat Tertinggi – Berat Terendah = 69,8 – 33,8 = 36

⧫  Banyak kelas (k) = 1 + 3,3 log n

                                     = 1 + 3,3 log 20

                                     = 1 + 3,3 . 1,301

                                     = 1 + 4,293

                                     = 5,293

         Banyaknya kelas adalah 5,293 dibulatkan menjadi 6.

     ⧫  Interval kelas

         P = J/k = 36/6 = 6

         Interval kelas adalah 6.

⧫  Tabel Distribusi:
    
⧫  Histogram

     

Semoga materi dan contoh soal tentang Statistika - Penyajian Data ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~

TRANSFORMASI - DILATASI (PERKALIAN)

Dilatasi (Perkalian) merupakan suatu transformasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri yang bergantung pada titik pusat dilatasi dan faktor (skala) dilatasi, sehingga bayangan dari bangun geometri yang didilatasi berubah ukurannya (membesar atau mengecil). Faktor dilatasi adalah faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecil suatu bangun geometri.

Faktor dilatasi dinotasikan dengan huruf kecil, misalkan k.

a)  Jika k > 1 atau k < -1, maka hasil dilatasinya diperbesar

b)  Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil

c)  Jika k = -1 atau k = 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan ukuran

Rumus Dilatasi (Perkalian)

a) Rumus Dilatasi (Perkalian) terhadap pusat O(0, 0)

    

b) Rumus Dilatasi (Perkalian) terhadap pusat P(a, b)

    

    dengan:

    x’ = a + k(x – a)

    y’ = b + k(y – b)

Contoh:

1. Tentukan bayangan titik P(-5, 7) yang didilatasi terhadap titik pusat (0, 0) dengan faktor skala 3!

    Jawab:

    

2. Tentukan bayangan garis 4x + 2y – 5 = 0 yang mengalami dilatasi [O, 1/2]!

    Jawab:

    

    didapat:

    x’ = x ↔ x = 2x’

    y’ = y ↔ y = 2y’

    Substitusi ke persamaan:

    4x + 2y – 5 = 0

    4(2x’) + 2(2y’) – 5 = 0

    8x’ + 4y’ – 5 = 0

    Jadi, bayangan garis 4x + 2y – 5 = 0 yang mengalami dilatasi [O, 1/2] adalah 8x + 4y – 5 = 0.

3. Tentukan bayangan titik Q(6, -9) yang didilatasi terhadap titik (4, 5) dengan faktor skala -2!

    Jawab:

    

    Titik P(4, 5) didapat a = 4 dan b = 5

sehingga:

x’ = 4 + (-2)(6 – 4) = 4 + (-2)(2) = 4 + (-4) = 0

y’ = 5 + (-2)(-9 – 5) = 5 + (-2)(-14) = 5 + 28 = 33

Jadi, bayangan titik Q(6, -9) yang didilatasi terhadap titik (4, 5) dengan faktor skala -2 adalah Q’(0, 33).

LATIHAN SOAL!

Tentukan bayangan dari:

1. titik P(-15, -21) yang didilatasi terhadap titik pusat (0, 0) dengan faktor skala 1/3.

2. garis 3y – 8x + 1 = 0 yang mengalami dilatasi [O, -1/2].

3. titik Q(-3, 5) yang didilatasi terhadap titik (-2, -4) dengan faktor skala 3.

Pembahasan:

1.  P(-15, -21)

     

2.  garis 3y – 8x + 1 = 0

     didapat:

x’ = x ↔ x = -2x’

y’ = y ↔ y = -2y’

Substitusi ke persamaan:

3y – 8x + 1 = 0

3(-2y’) – 8(-2x’) + 1 = 0

-6y’ + 16x’ + 1 = 0

16x’ – 6y’ + 1 = 0

Jadi, bayangan garis 3y – 8x + 1 = 0 yang mengalami dilatasi [O, -1/2] adalah 16x – 6y + 1 = 0.

3.  titik Q(-3, 5)

     

     Titik P(-2, -4) didapat a = -2 dan b = -4

sehingga:

x’ = -2 + 3.(-3 – (-2)) = -2 + 3.(-1) = -2 + (-3) = -5

y’ = -4 + 3.(5 – (-4)) = -4 + 3.9 = -4 + 27 = 23

Jadi, bayangan titik Q(-3, 5) yang didilatasi terhadap titik (-2, -4) dengan faktor skala 3 adalah Q’(-5, 23).

Semoga materi, contoh soal, dan latihan soal tentang Dilatasi (Perkalian) ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~