A. BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Perhatikan bentuk-bentuk persamaan berikut!
- 2x + 2y = 14
- p + q + 3 = 10
- 8z - 3w = 7
- 6a + 3b = b + 5
- 12m - n = 32
- 2r - 5s = 10
Persamaan Linear Dua Variabel adalah persamaan yang hanya memiliki dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu.
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah dua persamaan linear dua variabel yang saling terkait.
Secara matematis, bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Keterangan:
a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂, x, dan y adalah bilangan-bilangan real
x dan y disebut variabel
a₁ dan a₂ disebut koefisien variabel x
b₁ dan b₂ disebut koefisien variabel y
c₁ dan c₂ disebut konstanta
B. PENYELESAIAN DARI SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Penyelesaian dari SPLDV dapat ditentukan dengan 4 metode, diantaranya:
▸ Metode Grafik
Metode grafik adalah metode menentukan penyelesaian SPLDV dengan menggambar pada koordinat Cartesius dan mencari titik potong. Himpunan penyelesaian adalah titik potong kedua garis tersebut.
Berikut penentuan banyaknya penyelesaian suatu SPLDV berdasarkan grafiknya.
- Jika kedua garis berpotongan di satu titik, maka sistem persamaan tersebut memiliki satu penyelesaian
- Jika garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik tertentu, maka sistem persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong
- Jika kedua garis berimpit, maka sistem persamaan tersebut memiliki tak hingga penyelesaian.
Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV x + 4y = 12 dan x + y = 6 dengan menggunakan metode grafik!
Penyelesaian:
x + 4y = 12
x + y = 6
Setelah dibentuk grafik dari kedua garis, terlihat bahwa koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (4, 2).
Penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 4 dan y = 2.
Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah {(4, 2)}.
▸ Metode Eliminasi
Metode eliminasi merupakan metode penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan cara menghilangkan salah satu variabel, sehingga dihasilkan sistem persamaan linear dengan jumlah variabel lebih sedikit.
Untuk mengeliminasi salah satu variabel perlu disamakan dahulu koefisien variabel yang akan dieliminasi.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x - 3y = 1 dan 2x + y = 5 dengan menggunakan metode eliminasi!
Penyelesaian:
2x - 3y = 1 ...(1)
2x + y = 5 ...(2)
Koefisien variabel x pada kedua persamaan sudah sama, sehingga dapat langsung dieliminasi.
2x - 3y = 1
2x + y = 5 -
-4 y = -4
y = -4/-4
y = 1
Untuk menentukan nilai x dengan mengeliminasi variabel y, koefisien variabel y disamakan terlebih dahulu.
2x - 3y = 1 | x1 | 2x - 3y = 1
2x + y = 5 | x3 | 6x + 3y = 15 +
8x = 16
x = 16/8
x = 2
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(2, 1)}.
▸ Metode Substitusi
Metode substitusi adalah metode mengganti variabel yang satu ke variabel yang lain. Caranya dengan menyatakan salah satu variabel yang sama dalam persamaan yang lain.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x - y = -1 dan x + y = 5 dengan menggunakan metode substitusi!
Penyelesaian:
x - y = -1 ...(1)
x + y = 5 ...(2)
Persamaan (2) dapat diubah menjadi:
x + y = 5 ⇔ x = 5 - y ...(3)
Substitusi persamaan (3) ke persamaan (1):
x - y = -1
5 - y - y = -1
5 - 2y = -1
-2y = -1 - 5
-2y = -6
y = -6/-2
y = 3
Substitusi y = 3 ke persamaan (3)
x = 5 - y
= 5 - 3
= 2
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(2, 3)}.
▸ Metode Campuran
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode gabungan merupakan penyelesaian dengan menggunakan metode eliminasi dan substitusi. Metode ini bisa dikerjakan dengan substitusi terlebih dahulu atau dengan eliminasi terlebih dahulu.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 3a + 2b = 28 dan 2a - 3b = -3 dengan menggunakan metode campuran!
Penyelesaian:
3a + 2b = 28 | x2 | 6a + 4b = 56
2a - 3b = -3 | x3 | 6a - 9b = -9 -
13b = 65
b = 65/13
b = 5
b = 5 ⇔ 2a - 3b = -3
2a - 3(5) = -3
2a - 15 = -3
2a = -3 + 15
2a = 12
a = 12/2
a = 6
Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah {(6, 5)}.
C. PENYELESAIAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN SPLDV
Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut:
- Menentukan besaran yang dirancang sebagai variabel suatu sistem persamaan linear
- Merumuskan sistem persamaan sebagai model matematika dari masalahnya
- Menentukan penyelesaian model matematika yang telah dirumuskan
- Menjawab masalah yang dipersoalkan
Pada sebuah pertunjukkan, harga satu tiket untuk dewasa dan satu tiket untuk pelajar Rp25.000,00. Sedangkan harga dua tiket untuk dewasa dan satu tiket untuk pelajar Rp40.000,00.
Tentukan:
a. Harga masing-masing untuk satu tiket
b. Harga untuk 5 tiket dewasa dan 2 tiket pelajar
Penyelesaian:
Misal:
x = harga satu tiket untuk dewasa
y = harga satu tiket untuk pelajar
Model matematika:
x + y = 25.000 ...(1)
2x + y = 40.000 ...(2)
Eliminasi variabel y:
x + y = 25.000
2x + y = 40.000 -
-x = -15.000
x = 15.000
Substitusi x = 15.000 ke persamaan (1)
x + y = 25.000
15.000 + y = 25.000
y = 25.000 - 15.000
y = 10.000
Jadi, harga satu tiket untuk dewasa adalah Rp15.000,00 dan harga satu tiket untuk pelajar adalah Rp10.000,00.
Sedangkan, harga 5 tiket untuk dewasa dan 2 tiket untuk pelajar:
5x + 2y = 5(15.000) + 2(10.000)
= 75.000 + 20.000
= 95.000
Jadi, harga 5 tiket untuk dewasa dan 2 tiket untuk pelajar adalah Rp95.000,00.
Semoga materi dan contoh soal tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel ini bisa bermanfaat :)
Good luck guys~
No comments:
Post a Comment