PERSAMAAN LINGKARAN: Konsep Dasar, Penentuan Persamaan Lingkaran, Contoh Soal, dan Pembahasan

A.  KONSEP DASAR PERSAMAAN LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik yang tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.

Perhatikan lingkaran berikut!

Lingkaran tersebut dinamakan lingkaran P dan memiliki pusat di titik P(xp, yp). Panjang jari-jari lingkaran (r) menunjukkan jarak titik yang terletak pada lingkaran, sehingga PA = PB = r adalah jari-jari lingkaran.

1.  Rumus jarak (J) antara dua titik, yaitu titik A(x₁, y₁) dan B(x₂, y₂) sebagai berikut:

2.  Rumus jarak (J) titik A(x₁, y₁) ke garis ax + by + c = 0 sebagai berikut:

Rumus jarak tersebut dapat digunakan untuk menentukan persamaan sebuah lingkaran disesuaikan dengan variabel yang diketahui. 

B.  PENENTUAN PERSAMAAN LINGKARAN

☛  Penentuan Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0,0) dengan jari-jari r

Lingkaran yang berpusat di titik pangkal, yaitu O(0,0). Titik A(x,y) terletak pada lingkaran. 

Berdasarkan rumus jarak antara dua titik, maka jarak titik O(0,0) ke titik A(x,y) sebagai berikut:

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r sebagai berikut:

Contoh 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dengan jari-jari 3!

Jawab:

Titik pusat = (0,0) dan r = 3

x² + y² = r²

x² + y² = 3²

x² + y² = 9

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah x² + y² = 9.

Contoh 2:

Tentukan titik pusat dan jari-jari pada lingkaran x² + y² = 16!

Jawab:

Persamaan lingkaran: x² + y² = 16

Titik pusat: (0,0)

Jari-jari: √16 = 4

Contoh 3:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat dan melalui titik (5,12)!

Jawab:

Titik (5,12) terletak pada lingkaran.

Substitusikan (5,12) pada x² + y² = r²

  5² + 12² = r²

25 + 144 = r²

        169 = r²

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat pada pangkal koordinat dan melalui titik (5,12) adalah x² + y² = 169.

☛  Penentuan Persamaan Lingkaran yang Berpusat di P(xp, yp) dengan jari-jari r

Lingkaran yang berpusat di titik P(xp,yp). Titik A(x,y) terletak pada lingkaran.

Jarak antara titik P(xp,yp) terhadap titik A(x,y) sebagai berikut:

Persamaan lingkaran yang berpusat di P(xp,yp) dengan jari-jari r sebagai berikut:

Contoh 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (2,-1) dengan jari-jari 3√2!

Jawab:

Persamaan lingkaran yang melalui pusat titik (xp,yp) adalah (x - xp)² + (y - yp)² = r².

Untuk lingkaran dengan pusat (2,-1) dan jari-jari 3√2, diperoleh:

(x - 2)² + (y - (-1))² = (3√2)²

(x - 2)² + (y + 1)² = 18

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah (x - 2)² + (y + 1)² = 18.

Contoh 2:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4,5) dengan jari-jari 4!

Jawab:

Persamaan lingkaran yang melalui pusat titik (xp,yp) adalah (x - xp)² + (y - yp)² = r².

Untuk lingkaran dengan pusat (4,5) dan jari-jari 4, diperoleh:

(x - 4)² + (y - 5)² = 4²

(x - 4)² + (y - 5)² = 16

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah (x - 4)² + (y - 5)² = 16.

Contoh 3:

Tentukan persamaan lingkaran jika suatu lingkaran berpusat di titik (-2,1) dan melalui titik (4,9)!

Jawab:

Jarak kedua titik merupakan jari-jari, maka:

r = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

  = √(4 - (-2))² + (9 - 1)²

  = √(4 + 2)² + (9 - 1)²

  = √6² + 8²

  = √36 + 64

  = √100

  = 10

Persamaan lingkaran:

(x - xp)² + (y - yp)² = r²

(x - (-2))² + (y - 1)² = 10²

(x + 2)² + (y - 1)² = 100

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah (x + 2)² + (y - 1)² = 100,

☛  Penentuan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Bentuk persamaan lingkaran (x - xp)² + (y - yp)² = r² dapat dijabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, sehingga diperoleh:

▸ Bentuk Umum Persamaan Lingkaran berikut:

dengan A = -2xp, B = -2yp dan C = xp² + yp² - r²

▸ Titik Pusat dan Jari-Jari Lingkaran dengan persamaan x² + y² + Ax + By + C = 0

sebagai berikut:

Contoh:

Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² + 4x - 6y - 12 = 0!

Jawab:

x² + y² + 4x - 6y - 12 = 0 ⇒ A = 4, B = -6, C = -12

Titik pusat = (-1/2.4 , -1/2.(-6))

                  = (-2, 3)

Jari-jari lingkaran:

r = √(1/2A)² + (1/2B)² - C

  = √(1/2.4)² + (1/2.(-6))² - (-12)

  = √2² + (-3)² + 12

  = √4 + 9 + 12

  = √25

  = 5

Jadi, titik pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² + 4x - 6y - 12 = 0 adalah (-2, 3) dan 5.

LATIHAN SOAL!

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dengan jari-jari 6!
2. Tentukan titik pusat dan jari-jari pada lingkaran x² + y² = 64!
3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-7,3) dengan jari-jari 5!
4. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² - 4x + 6y + 4 = 0!

Semoga materi dan contoh soal tentang Persamaan Lingkaran ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~