October 21, 2020

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK: Konsep, Contoh Soal, dan Pembahasan

       Pertidaksamaan adalah kalimat tertutup yang mengandung tanda < (kurang dari),
> (lebih dari), ≤ (kurang dari sama dengan), atau ≥ (lebih dari sama dengan).
       Pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebuah perbandingan ukuran dua objek atau lebih yang selalu bernilai non negatif. Penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak adalah nilai-nilai pengganti variabel yang menyebabkan kalimat tertutup bernilai benar.
       Himpunan semua pengganti variabel disebut Himpunan Penyelesaian dari Pertidaksamaan.
Secara umum, untuk a ≥ 0, x ∈ R, dan a ∈ R berlaku sebagai berikut:
  1. |x| < a, untuk -a < x < a
  2. |x| > a, untuk x < -a atau x > a
  3. |x| ≤ a, untuk -a ≤ x ≤ a
  4. |x| ≥ a, untuk x ≤ -a atau x ≥ a
Jika fungsi dalam nilai mutlak berbentuk ax + b, maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut:
  1. |ax + b| < p, untuk -p < ax + b < p
  2. |ax + b| > p, untuk ax + b < -p atau ax + b > p
  3. |ax + b| ≤ p, untuk -p ≤ ax + b ≤ p
  4. |ax + b| ≥ p, untuk ax + b ≤ -p atau ax + b ≥ p
dengan p ≥ 0, x ∈ R, dan a, b ∈ R.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut:
1.  |2x - 1| - 1 < 6
2.  |3x - 6| ≥ 9
3.  |x + 2| > 8
4.  |2x - 1| ≤ 5
5.  |x + 3| ≥ |2x - 3|
Jawab:
1.  |2x - 1| - 1 < 6 ⇔ |2x - 1| < 6 + 1
                             ⇔ |2x - 1| < 7
                                  -7 < 2x - 1 < 7
                                 -7 + 1 < 2x < 7 + 1
                                       -6 < 2x < 8
                                     -6/2 < x < 8/2
                                        -3 < x < 4
     Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |2x - 1| - 1 < 6 
     adalah {x | -3 < x < 4}.

2.  |3x - 6| ≥ 9
     Untuk |3x - 6| ≥ 9 dapat diselesaikan dengan dua penyelesaian.
     ⧪ 3x - 6 ≤ -9                              ⧪ 3x - 6 ≥ 9
               3x ≤ -9 + 6                                 3x ≥ 9 + 6
               3x ≤ -3                                       3x ≥ 15
                 x ≤ -3/3                                      x ≥ 15/3
                 x ≤ -1                                         x ≥ 5
     Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |3x - 6| ≥ 9
     adalah {x | x ≤ -1 atau x ≥ 5}.

3.  |x + 2| > 8
     Untuk |x + 2| > 8 dapat diselesaikan dengan dua penyelesaian.
     ⧪ x + 2 < -8                              ⧪ x + 2 > 8
                x < -8 - 2                                   x > 8 - 2
                x < -10                                      x > 6
     Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |x + 2| > 8
     adalah {x | x < -10 atau x > 6}.

4.  |2x - 1| ≤ 5 ⇔ -5 ≤ 2x - 1 ≤ 5
                             -5 + 1 ≤ 2x ≤ 5 + 1
                                   -4 ≤ 2x ≤ 6
                                -4/2 ≤ x ≤ 6/2
                                   -2 ≤ x ≤ 3
     Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |2x - 1| ≤ 5
     adalah {x | -2 ≤ x ≤ 3}.

5.  |x + 3| ≥ |2x - 3|
     Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak |x + 3| ≥ |2x - 3| menggunakan
     sifat |x| = √x²
                                          |x + 3| ≥ |2x - 3|
                                      √(x + 3)² ≥ √(2x - 3)²
                                        (x + 3)² ≥ (2x - 3)²
                       (x + 3)² - (2x - 3)² ≥ 0
     (x² + 6x + 9) - (4x² - 12x + 9) ≥ 0
         x² + 6x + 9 - 4x² + 12x - 9) ≥ 0
         x² - 4x² + 6x + 12x + 9 - 9) ≥ 0
                                   -3x² + 18x ≥ 0
                                   -3x (x - 6) ≥ 0
     Pembuat nol:
     -3x = 0         atau   x - 6 = 0
         x = 0/-3                   x = 0 + 6
         x = 0                       x = 6
     Selidiki menggunakan garis bilangan:
     
     Oleh karena batasnya ≥ 0, maka penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak
     |x + 3| ≥ |2x - 3| adalah 0 ≤ x ≤ 6.
     Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |x + 3| ≥ |2x - 3|
     adalah {x | 0 ≤ x ≤ 6}.

LATIHAN SOAL!
Tentukan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut:
1.  |2x - 6| = 4
2.  |3x + 4| = x - 8
3.  |2x - 1| = 7
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut:
4.  |x + 5| ≤ 2
5.  |2x - 6| > 8


Semoga materi dan contoh soal tentang Pertidaksamaan Nilai Mutlak ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~

9 comments: