FUNGSI KOMPOSISI: Pengertian, Syarat, Sifat, Contoh Soal, dan Pembahasan

A.  PENGERTIAN DAN SYARAT FUNGSI KOMPOSISI

Fungsi komposisi adalah penggabungan dari operasi beberapa fungsi sehingga menghasilkan suatu fungsi baru.

Operasi fungsi komposisi dinotasikan dengan "o" (dibaca: fungsi komposisi atau bundaran).

Misal terdapat dua fungsi, yaitu f(x) dan g(x). Fungsi baru yang dapat terbentuk adalah sebagai berikut

(f o g)(x) artinya fungsi g dimasukkan ke fungsi f

atau

(g o f)(x) artinya fungsi f dimasukkan ke fungsi g

Perhatikan gambar berikut!

Berdasarkan gambar di atas, dapat diketahui jika fungsi f : A ⟶ B dan g : B ⟶  C, maka fungsi h yang memetakan A ⟶  C melalui hubungan dua fungsi f dan g, dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi.

Secara matematis ditulis: 

h : A ⟶ C atau h ⟶: x ⟶  g(f(x))

dengan rumus h(x) = (g o f)(x) = g(f(x))

Jika terdapat fungsi f dan fungsi g, maka tidak selalu keduanya dapat dikomposisikan.

✶ Syarat Fungsi Komposisi

1. Fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi g o f, jika daerah hasil dari f adalah himpunan bagian dari daerah asal g(Rf ⊆ Dg).
2. Fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi g o f, jika irisan antara daerah hasil fungsi f dengan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong (Rf ∩ Dg ≠ Ø).

B.  SIFAT FUNGSI KOMPOSISI

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat sebagai berikut:

1. Tidak berlaku sifat komutatif, sehingga (f o g)(x) ≠ (g o f)(x)
2. Berlaku sifat asosiatif, sehingga (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)
3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x, sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh:

Diketahui fungsi f : R ⟶ R, g : R ⟶ R, h : R ⟶ R, ditentukan oleh f(x) = 3x + 2, g(x) = x² +2, dan h(x) = x + 1. Buktikan bahwa (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)!

Penyelesaian:

(f o (g o h))(x) = f o g(x + 1)

                        = f((x + 1)² + 2)

                        = f(x² + 2x + 1 + 2)

                        = f(x² + 2x + 3)

                        = 3(x² + 2x + 3) + 2

                        = 3x² + 6x + 9 + 2

                        = 3x² + 6x + 11

((f o g) o h)(x) = f(x² + 2) o h

                        = 3(x² + 2) + 2 o h

                        = 3x² + 6 + 2 o h

                        = 3x² + 8 o h

                        = 3(x + 1)² + 8

                        = 3(x² + 2x + 1) + 8

                        = 3x² + 6x + 3 + 8

                        = 3x² + 6x + 11

Jadi, terbukti bahwa (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x).

C.  PENENTUAN KOMPONEN FUNGSI APABILA ATURAN KOMPOSISINYA DIKETAHUI

Misalkan diketahui fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f), maka dapat ditentukan fungsi g, ataupun juga sebaliknya.

Contoh:

1. Diketahui g(x) = x - 6 dan (f o g)(x) = 6x - 15, tentukan rumus fungsi f(x)!

    Penyelesaian:

    g(x) = x - 6

    (f o g)(x) = 6x - 15

       (f(g(x)) = 6x - 15

      (f(x - 6) = 6x - 15

     Misal : x - 6 = a

                        x = a + 6

     f(a) = 6x + 15

            = 6(a + 6) - 15

            = 6a + 36 - 15

            = 6a + 21

     f(x) = 6x + 21

     Jadi, rumus fungsi f(x) adalah 6x + 21.

2. Diketahui f(x) = x² - 2 dan (f o g)(x) = 4x² + 4x - 1, tentukan rumus fungsi g(x)!

    Penyelesaian:

    f(x) = x² - 2

      (f o g)(x) = 4x² + 4x - 1

          f(g(x)) = 4x² + 4x - 1

     (g(x))² - 2 = 4x² + 4x - 1

          (g(x))² = 4x² + 4x - 1 + 2

          (g(x))² = 4x² + 4x + 1

          (g(x))² = (2x + 1)²

              g(x) = 2x + 1

     Jadi, rumus fungsi g(x) adalah 2x + 1.

Semoga materi dan contoh soal tentang Fungsi Komposisi ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~