PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK: Konsep, Contoh Soal, dan Pembahasan

       Pertidaksamaan adalah kalimat tertutup yang mengandung tanda < (kurang dari),

> (lebih dari), ≤ (kurang dari sama dengan), atau ≥ (lebih dari sama dengan).

       Pertidaksamaan nilai mutlak adalah sebuah perbandingan ukuran dua objek atau lebih yang selalu bernilai non negatif. Penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak adalah nilai-nilai pengganti variabel yang menyebabkan kalimat tertutup bernilai benar.

       Himpunan semua pengganti variabel disebut Himpunan Penyelesaian dari Pertidaksamaan.

Secara umum, untuk a ≥ 0, x ∈ R, dan a ∈ R berlaku sebagai berikut:

1. |x| < a, untuk -a < x < a
2. |x| > a, untuk x < -a atau x > a
3. |x| ≤ a, untuk -a ≤ x ≤ a
4. |x| ≥ a, untuk x ≤ -a atau x ≥ a

Jika fungsi dalam nilai mutlak berbentuk ax + b, maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut:

1. |ax + b| < p, untuk -p < ax + b < p
2. |ax + b| > p, untuk ax + b < -p atau ax + b > p
3. |ax + b| ≤ p, untuk -p ≤ ax + b ≤ p
4. |ax + b| ≥ p, untuk ax + b ≤ -p atau ax + b ≥ p

dengan p ≥ 0, x ∈ R, dan a, b ∈ R.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut:

1.  |2x - 1| - 1 < 6

2.  |3x - 6| ≥ 9

3.  |x + 2| > 8

4.  |2x - 1| ≤ 5

5.  |x + 3| ≥ |2x - 3|

Jawab:

1.  |2x - 1| - 1 < 6 ⇔ |2x - 1| < 6 + 1

                             ⇔ |2x - 1| < 7

                                  -7 < 2x - 1 < 7

                                 -7 + 1 < 2x < 7 + 1

                                       -6 < 2x < 8

                                     -6/2 < x < 8/2

                                        -3 < x < 4

     Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |2x - 1| - 1 < 6 

     adalah {x | -3 < x < 4}.

2.  |3x - 6| ≥ 9

     Untuk |3x - 6| ≥ 9 dapat diselesaikan dengan dua penyelesaian.

     ⧪ 3x - 6 ≤ -9                              ⧪ 3x - 6 ≥ 9

               3x ≤ -9 + 6                                 3x ≥ 9 + 6

               3x ≤ -3                                       3x ≥ 15

                 x ≤ -3/3                                      x ≥ 15/3

                 x ≤ -1                                         x ≥ 5

     Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |3x - 6| ≥ 9

     adalah {x | x ≤ -1 atau x ≥ 5}.

3.  |x + 2| > 8

     Untuk |x + 2| > 8 dapat diselesaikan dengan dua penyelesaian.

     ⧪ x + 2 < -8                              ⧪ x + 2 > 8

                x < -8 - 2                                   x > 8 - 2

                x < -10                                      x > 6

     Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |x + 2| > 8

     adalah {x | x < -10 atau x > 6}.

4.  |2x - 1| ≤ 5 ⇔ -5 ≤ 2x - 1 ≤ 5

                             -5 + 1 ≤ 2x ≤ 5 + 1

                                   -4 ≤ 2x ≤ 6

                                -4/2 ≤ x ≤ 6/2

                                   -2 ≤ x ≤ 3

     Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |2x - 1| ≤ 5

     adalah {x | -2 ≤ x ≤ 3}.

5.  |x + 3| ≥ |2x - 3|

     Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak |x + 3| ≥ |2x - 3| menggunakan

     sifat |x| = √x²

                                          |x + 3| ≥ |2x - 3|

                                      √(x + 3)² ≥ √(2x - 3)²

                                        (x + 3)² ≥ (2x - 3)²

                       (x + 3)² - (2x - 3)² ≥ 0

     (x² + 6x + 9) - (4x² - 12x + 9) ≥ 0

         x² + 6x + 9 - 4x² + 12x - 9) ≥ 0

         x² - 4x² + 6x + 12x + 9 - 9) ≥ 0

                                   -3x² + 18x ≥ 0

                                   -3x (x - 6) ≥ 0

     Pembuat nol:

     -3x = 0         atau   x - 6 = 0

         x = 0/-3                   x = 0 + 6

         x = 0                       x = 6

     Selidiki menggunakan garis bilangan:

     
     Oleh karena batasnya ≥ 0, maka penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak

     |x + 3| ≥ |2x - 3| adalah 0 ≤ x ≤ 6.

     Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak |x + 3| ≥ |2x - 3|

     adalah {x | 0 ≤ x ≤ 6}.

LATIHAN SOAL!

Tentukan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut:

1.  |2x - 6| = 4

2.  |3x + 4| = x - 8

3.  |2x - 1| = 7

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut:

4.  |x + 5| ≤ 2

5.  |2x - 6| > 8

Semoga materi dan contoh soal tentang Pertidaksamaan Nilai Mutlak ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~