A. MENYUSUN PERSAMAAN FUNGSI KUADRAT
Untuk menentukan suatu persamaan fungsi kuadrat adalah disesuaikan dengan hal-hal yang diketahui.Berikut adalah langkah-langkah yang dapat digunakan.
- Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(x₁, 0) dan B(x₂, 0) serta melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya sebagai berikut:
y = f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
- Jika grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di A(x₁, 0) dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya sebagai berikut:
y = f(x) = a(x - x₁)²
- Jika grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak/titik balik P(Xp, Yp) dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya sebagai berikut:
y = f(x) = a(x - xp)²+ yp
- Jika diketahui titik A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), dan C(x₃, y₃), maka persamaan fungsi kuadratnya sebagai berikut:
y = f(x) = ax² + bx + c
Nilai a, b, dan c adalah penyelesaian dari ketiga titik yang disubstitusikan ke persamaan fungsi kuadrat.
Contoh 1:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memotong titik (5, 0) dan (2, 0) serta melalui titik A(6, 8)!
Penyelesaian:
Persamaan fungsi kuadrat yang memotong titik (5, 0) dan (2, 0), sehingga:
y = a(x - x₁)(x - x₂)
y = a(x - 5)(x - 2)
melalui titik A(6, 8), maka:
y = a(x - 5)(x - 2)
8 = a(6 - 5)(6 - 2)
8 = a (1)(4)
8 = 4a
a = 8/4
a = 2
Untuk a = 2, maka persamaan fungsi kuadrat:
y = a(x - 5)(x - 2)
= 2(x² - 7x + 10)
= 2x² - 14x + 20
Jadi, persamaan fungsi kuadrat tersebut adalah y = 2x² - 14x + 20.
Contoh 2:
Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1, -1), (0, 4), dan (1, 5)!
Penyelesaian:
Misalkan fungsi kuadratnya adalah f(x) = ax² + bx + c.
Melalui titik (-1, -1), (0, 4), dan (1, 5), berarti:
f(-1) = -1
f(0) = 4
f(1) = 5
sehingga:
f(0) = 4 ⇒ a(0) + b(0) + c = 4
c = 4
f(-1) = -1 ⇒ a(-1) + b(-1) + c = -1
a - b + 4 = -1
a - b = -1 - 4
a - b = -5
a + b = -5 ..................... (1)
f(1) = 5 ⇒ a(1) + b(1) + c = 5
a + b + 4 = 5
a + b = 5 - 4
a + b = 1 ..................... (2)
Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2):
a + b = -5
a + b = 1 -
-2b = -6
b = -6/-2
b = 3
Untuk b = 3 ⇒ a - b = 5
a - 3 = 5
a = 5 - 3
a = 2
Sehingga diperoleh:
a = -2
b = 3
c = 4
Fungsi kuadrat : f(x) = ax² + bx + c
f(x) = -2x² + 3x + 4
Jadi, persamaan fungsi kuadrat tersebut adalah f(x) = -2x² + 3x + 4.
B. APLIKASI FUNGSI KUADRAT
Untuk menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan nilai maksimum dan nilai minimum dapat menggunakan terapan dari fungsi kuadrat, yang artinya soal cerita tersebut diarahkan ke dalam bentuk fungsi kuadrat.
Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan masalah optimalisasi fungsi kuadrat:
- Menentukan variabel yang akan dioptimalisasi yaitu y dan variabel bebas yaitu x
- Jika model y = ax² + bx + c tidak diketahui, maka bentuklah model y = ax² + bx + c dari permasalahan
- Menentukan nilai optimum dari model yang didapatkan
Contoh:
Seorang peternak sapi mempunyai pagar sepanjang 100 m. Pagar tersebut akan digunakan untuk memagari kandang sapi berbentuk persegi panjang. Berapakah ukuran panjang, lebar, dan luas kandang agar dapat menampung sapi sebanyak-banyaknya?
Penyelesaian:
Panjang pagar = keliling kandang persegi panjang
100 = 2(p + l)
p + l = 100/2
p + l = 50
l = 50 - p
Luas = p × l
= p (50 - p)
= 50p - p²
Luas merupakan fungsi kuadrat dalam p, sehingga diperoleh:
a = -1
b = 50
c = 0
Diharapkan kandang dapat menampung sapi sebanyak-banyaknya, artinya ukuran maksimum kandang.
Panjang maksimum:
p = -b/2
= 50/2
= 25
Lebar maksimum:
l = 50 - p
= 50 - 25
= 25
Luas maksimum:
D = b² - 4ac
= 50² - 4(-1)(0)
= 2500 + 0
= 2500
Luas = D/-4a
= 2500/-4(-1)
= 2500/4
= 625
Jadi, ukuran panjang, lebar, dan luas kandang berturut-turut adalah 25 m, 25 m, dan 625 m².
Semoga materi dan contoh soal tentang Penyusunan Persamaan Fungsi Kuadrat dan Aplikasi Fungsi Kuadrat ini bisa bermanfaat :)
Good luck guys~
No comments:
Post a Comment