PERSAMAAN NILAI MUTLAK: Konsep, Sifat, Contoh Soal, dan Pembahasan

A. PENGERTIAN NILAI MUTLAK

     Nilai mutlak atau nilai absolut menggambarkan jarak tanpa mempertimbangkan arah. Nilai mutlak merupakan nilai suatu bilangan yang dihitung dari jarak bilangan itu dengan nol (0), sehingga tidak mungkin nilai mutlak suatu bilangan bernilai negatif, tetapi mungkin saja bernilai nol.

        Nilai mutlak dari suatu bilangan real x dilambangkan dengan |x|. Secara matematis, nilai mutlak x ∈ R didefinisikan sebagai berikut:

Contoh:

1.  |-18| = 18

2.  12 + |-15| - |-18| - |3| = 12 + 15 - 18 - 3

                                       = 6

3.  ||20| - |-5|| = |20 - 5|

                      = |15|

4.  Untuk x = -2, maka tentukan nilai dari |x² + 5x - 6|!

     Jawab:

     |x² + 5x - 6| = |(-2)² + 5(-2) - 6|

                         = |4 - 10 - 6|

                         = |-12|

                         = 12

B. SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK

Untuk x, y ∈ R dengan y ≠ 0, berlaku sifat-sifat sebagai berikut:

• |-x| = |x|
• |x - y| = |y - x|
• |x| = √x²
• |x|² = |-x|² = x²
• |x . y| = |x|.|y|
• |x/y| = |x|/|y|
• |x| = |y| ⇔ x² = y²
• |x| = |y| ⇔ x = ±y

Contoh:

1.  |-8| = |8| = 8

2.  |6 - 4| = |4 - 6| = |2| = 2

3.  |5| = √5² = 5

4.  |7|² = |-7|² = 7² = 49
5.  |5 . 8| = |5|.|8| = 5 . 8 = 40
6.  |-6/8| = |-6|/|8| = 6/8 = 3/4

C. PERSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL

⋆ Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak Menggunakan Definisi Nilai Mutlak
       Persamaan nilai mutlak adalah persamaan yang memuat nilai mutlak. Nilai-nilai variabel yang memenuhi persamaan disebut penyelesaian dan himpunan semua pengganti variabel yang menyebabkan persamaan menjadi kalimat tertutup bernilai benar disebut himpunan penyelesaian.

         Persamaan nilai mutlak dapat diselesaikan menggunakan definisi dan sifat-sifat nilai mutlak yang selalu bernilai positif.

Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak seperti berikut:

Jika terdapat persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dirumuskan sebagai berikut:

Contoh:

Tentukan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut:

1.  |x + 1| = -4

2.  |x - 5| = 1

3.  |x + 1| + 2x = 7

4.  |3x + 4| = x - 8

Penyelesaian:

1.  |x + 1| = -4

     Nilai mutlak suatu bilangan pasti bernilai positif.

     Jadi, tidak ada x anggota bilangan real yang memenuhi persamaan |x + 1| = -4.

2.  |x - 5| = 1

     Pada persamaan |x - 5| = 1 terdapat dua penyelesaian.

     » x - 5 = 1, maka x - 5 = 1

                                       x = 1 + 5

                                       x = 6

     » -(x - 5) = 1, maka -x + 5 = 1

                                            -x = 1 - 5

                                            -x = -4

                                             x = 4

     Jadi, penyelesaian dari persamaan |x - 5| = 1 adalah x = 4 dan x = 6.

3.  |x + 1| + 2x = 7

     Pada persamaan |x + 1| + 2x = 7 dibagi menjadi 2 bagian, yaitu:

     
     » Untuk x ≥ -1, maka:

        (x + 1) + 2x = 7

                 3x + 1 = 7

                        3x = 7 - 1

                        3x = 6

                          x = 6/3

                          x = 2 (memenuhi, karena batasan x ≥ -1)

     » Untuk x < -1, maka:

        -(x + 1) + 2x = 7

            -x - 1 + 2x = 7

                     x - 1 = 7

                          x = 7 + 1

                           x = 8 (tidak memenuhi, karena batasan x < -1)

      Jadi, penyelesaian dari persamaan |x + 1| + 2x = 7 adalah x = 2.

 4. |3x + 4| = x - 8

     Pada persamaan |3x + 4| = x - 8 dibagi menjadi 2 bagian, yaitu:

 

     » Untuk x ≥ -4/3, maka:

        (3x + 4) = x - 8

            3x - x = -8 - 4

                 2x = -12

                   x = -12/2

                   x = -6 (tidak memenuhi, karena batasan x ≥ -4/3)

     » Untuk x < -4/3, maka:

        -(3x + 4) = x - 8

            -3x - 4 = x - 8

            -3x - x = -8 + 4

                 -4x = -4

                    x = -4/-4

                    x = 1 (tidak memenuhi, karena batasan x < -4/3)

      Jadi, persamaan |3x + 4| = x - 8 tidak memiliki penyelesaian.

⋆ Penyelesaian Persamaan Nilai Mutlak Menggunakan Sifat |x| = √x²
Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak, dapat digunakan cara-cara berikut:

1. Menggunakan grafik
2. Berdasarkan definisi nilai mutlak
3. Penggunaan sifat nilai mutlak |x| = √x²
4. Untuk bentuk |x| = |y| dapat menggunakan sifat: jika |x| = |y| ⇔ x = ±y

Penyelesaian persamaan nilai mutlak menggunakan sifat |x| = √x² tidak linear, sehingga hanya merupakan alternatif penyelesaian saja.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan |2x - 1| = |x + 3|!

Penyelesaian:

                               |2x - 1| = |x + 3|

                       (√(2x - 1)²)² = (√(x + 3)²)²

                       4x² - 4x + 1 = x² + 6x + 9

4x² - 4x + 1 - (x² + 6x + 9) = 0

    4x² - 4x + 1 - x² - 6x - 9 = 0

    4x² - x² - 4x - 6x + 1 - 9 = 0

                      3x² - 10x - 8 = 0

                   (3x + 2)(x - 4) = 0

                   3x + 2 = 0 atau x - 4 = 0

                         3x = -2                   x = 4

                           x = -2/3

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan |2x - 1| = |x + 3| adalah {-2/3, 4}

Semoga materi dan contoh soal tentang Persamaan Nilai Mutlak ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~