FUNGSI KUADRAT : Konsep, Sifat Grafik, dan Menggambar Grafik

A. Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

f(x) = y = ax² + bx + c

dengan syarat a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.

Untuk syarat a ≠ 0 menjamin bahwa f(x) = y = ax² + bx + c bukan fungsi linear.

B. Sifat Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat dapat digambarkan dalam bentuk grafik atau kurva yang berupa parabola.

Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Jika a > 0, maka grafik terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum.
2. Jika a < 0, maka grafik terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum.
3. Jika D > 0, maka grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
4. Jika D = 0, maka grafik memotong sumbu x di satu titik atau menyinggung sumbu x.
5. Jika D < 0, maka grafik tidak memotong sumbu x.

Fungsi D < 0 mempunyai harga definit, yaitu:

• Definit positif

Fungsi akan selalu bernilai positif untuk setiap x atau grafik fungsi kuadrat seluruhnya berada di atas sumbu x dengan syarat a > 0 dan D < 0.

• Definit Negatif

Fungsi akan selalu bernilai negatif untuk setiap x atau grafik fungsi kuadrat seluruhnya berada di bawah sumbu x dengan syarat a < 0 dan D < 0.

Agar lebih memahami mengenai bentuk grafik fungsi kuadrat, perhatikan gambar berikut:

Contoh:

Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x² + 3mx + (4m + 1). Tentukan batas-batas nilai m agar grafik fungsi f(x) memotong sumbu x di dua titik yang berbeda!

Penyelesaian:

Fungsi kuadrat f(x) = x² + 3mx + (4m + 1)

didapat a = 1

             b = 3m

             c = (4m + 1)

Agar grafik fungsi f(x) memotong sumbu x di dua titik yang berbeda, 

maka syaratnya : D > 0

sehingga:

D > 0

b² - 4ac > 0

(3m)² - 4.1.(4m + 1) > 0

9m² - 16m - 4 > 0

9m² - 18m + 2m - 4 > 0

9m (m - 2) + 2 (m - 2) > 0

(9m + 2) (m - 2) > 0

9m + 2 = 0      atau    m - 2 = 0

      9m = -2                     m = 2

        m = -2/9

Jadi, batas-batas nilai m yang memenuhi agar grafik fungsi f(x) memotong sumbu x di dua titik yang berbeda adalah m < -2/9 atau m > 2.

C. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c memiliki sumbu simetri, nilai ekstrim, dan titik puncak.

• Sumbu Simetri

Sumbu simetri adalah garis yang membagi grafik fungsi kuadrat menjadi dua bagian yang sama (simetris), yaitu dengan persamaan:

• Nilai Ekstrim

Nilai ekstrim fungsi kuadrat terdiri dari nilai maksimum dan nilai minimum. Nilai ekstrim juga bisa disebut dengan nilai optimum.

Nilai ekstrim fungsi kuadrat dapat dicari dengan:

• Koordinat Titik Puncak

Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah

 

Berikut adalah langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat:

1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat. Titik potong grafik terhadap sumbu x, ketika y = 0. Titik potong grafik terhadap sumbu y, ketika x = 0.
2. Menentukan sumbu simetri.
3. Menentukan titik ekstrim atau nilai optimum.
4. Menentukan koordinat titik puncak.
5. Menghubungkan titik-titik yang diletakkan pada Koordinat Cartesius sehingga membentuk parabola atau kurva.

Contoh:

Gambarlah grafik fungsi kuadrat y = x² - 6x + 5!

Penyelesaian:

Fungsi kuadrat y = x² - 6x + 5

didapat a = 1

             b = -6

             c = 5

⋆ Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat

   - Titik potong terhadap sumbu x (y = 0)

      x² - 6x + 5 = 0

      x² - 5x - x + 5 = 0

      x(x - 5) - (x - 5) = 0

      (x - 1)(x - 5) = 0

      x - 1 = 0      atau     x - 5 = 0

            x = 1                      x = 5

      Diperoleh titik potong (1, 0) dan (5, 0)

   - Titik potong terhadap sumbu y (x = 0)

     y = x² - 6x + 5

     y = 0² - 6(0) + 5

     y = 0 - 0 + 5

     y = 5

     Diperoleh titik potong (0, 5)

⋆ Menentukan sumbu simetri

   x = -b/2a

      = -(-6)/2.1

      = 6/2

      = 3

   Sumbu simetri: x = 3

⋆ Menentukan titik ekstrim atau nilai optimum

   D = b² - 4ac

       = (-6)² - 4.1.5

       = 36 - 20

       = 16

    y = D/-4a

       = 16/-4.1

       = 16/-4

       = -4

   Titik ekstrim: y = -4

⋆ Menentukan koordinat titik puncak

   Koordinat titik puncak = (x, y)

                                        = (-b/2a , D/-4a)

                                        = (3, -4)

⋆ Grafik fungsi kuadrat:

   

Semoga materi dan contoh soal tentang Fungsi Kuadrat ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys~