MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT DAN APLIKASI PERSAMAAN KUADRAT

A. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

• Penyusunan Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-Akarnya

Suatu persamaan kuadrat dapat disusun menggunakan akar-akarnya yang diketahui dengan cara dua cara sebagai berikut:

☆ Perkalian Faktor

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂, maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian faktor sebagai berikut.

(x - x₁)(x - x₂) = 0

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat jika akar-akarnya 1 dan -7!

Jawab:

Akar-akarnya 1 dan -7, sehingga x₁ = 1 dan x₂ = -7

Persamaan Kuadrat:

 (x - x₁)(x - x₂) = 0

(x - 1)(x - (-7)) = 0

   (x - 1)(x + 7) = 0

  x² + 7x - x - 7 = 0

       x² + 6x - 7 = 0

Jadi, persamaan kuadrat jika akar-akarnya 1 dan -7 adalah x² + 6x - 7 = 0.

☆ Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂, maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan menggunakan rumus sebagai berikut.

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0

Rumus tersebut juga bisa digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat jika diketahui jumlah dan hasil kali kedua akarnya.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat jika akar-akarnya -1/2 dan 3!

Jawab:

Akar-akarnya -1/2 dan 3, sehingga x₁ = -1/2 dan x₂ = 3

ㆍx₁ + x₂ = -1/2 + 3 = -1/2 + 6/2 = 5/2

ㆍx₁ . x₂ = -1/2 . 3 = -3/2

Persamaan Kuadrat:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0

        x² - (5/2)x + (-3/2) = 0

             x² - (5/2)x - 3/2 = 0

                    2x² - 5x - 3 = 0

Jadi, persamaan kuadrat jika akar-akarnya -1/2 dan 3 adalah 2x² - 5x - 3 = 0.

• Penyusunan Persamaan Kuadrat Jika Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Lainnya

Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya, maka persamaan tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Contoh:

Akar-akar persamaan kuadrat 3x² + 6x - 8 = 0 adalah α dan β. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/α dan 1/β dengan rumus jumlah dan hasil kali akar!

Jawab:

3x² + 6x - 8 = 0 diperoleh:

a = 3

b = 6

c = -8

sehingga:

α + β = -b/a

         = -6/3

         = -2

α . β = c/a

        = -8/3

Misal persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x₁ dan x₂, maka x₁ = 1/α dan x₂ = 1/β.

x₁ + x₂ = 1/α + 1/β

            = (α + β)/(α . β)

            = -2/(-8/3)

            = -2 . (-3/8)

            = 6/8

            = 3/4

x₁ . x₂ = 1/α . 1/β 

          = 1/(α . β)

          = 1/-8/3

          = -3/8

Persamaan Kuadrat:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0

         x² - (3/4)x + (-3/8) = 0

              x² - (3/4)x - 3/8 = 0

                     8x² - 6x - 3 = 0

Jadi, persamaan kuadrat jika akar-akarnya 1/α dan 1/β adalah 8x² - 6x - 3 = 0

B. APLIKASI PERSAMAAN KUADRAT

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan menggunakan konsep persamaan kuadrat.

Contoh:

Sebuah perusahaan tas menjual barangnya seharga Rp75.000,00 per tas. Biaya pembuatan x buah tas didapat persamaan A = x² + 69.000x. Berapa buah tas yang harus diproduksi dan dijual agar mendapatkan laba Rp8.000.000,00?

Penyelesaian:

        Laba = pendapatan - biaya pembuatan

8.000.000 = (harga jual x jumlah yang diproduksi) - biaya pembuatan

8.000.000 = 75.000x - (x² + 69.000x)

8.000.000 = -x² + 75.000x - 69.000x

8.000.000 = -x² + 6.000x

              0 = -x² + 6.000x - 8.000.000

              0 = (x - 4.000)(x - 2.000)

              x - 4.000 = 0 atau x - 2.000 = 0

              x₁ = 4.000     atau x₂ = 2.000

Jadi, agar mendapatkan laba Rp8.000.000,00 harus diproduksi dan dijual sebanyak 4.000 tas atau 2.000 tas.

Semoga materi dan contoh soal tentang Menyusun Persamaan Kuadrat dan Aplikasi Persamaan Kuadrat ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys ~