TRANSFORMASI - ROTASI (PERPUTARAN)

Rotasi (Perputaran) merupakan suatu transformasi yang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan memutar titik tersebut terhadap titik pusatnya.
Sifat-Sifat Rotasi (Perputaran)
a)   Rotasi (Perputaran) ditentukan oleh:
     > Pusat Rotasi
     >  Arah Rotasi

             1) Apabila searah dengan perputaran jarum jam maka sudut rotasi

                 negatif.

             2) Apabila berlawanan arah dengan perputaran jarum jam maka

                 sudut rotasi positif.

          >  Jarak (besar sudut) Rotasi

b)  Dua rotasi (perputaran) berturut-turut adalah rotasi (perputaran) dengan sudut putar sama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
c)   Pada suatu rotasi (perputaran), setiap bangun geometri tidak berubah bentuknya.

Rumus Rotasi (Perputaran)
a)   Rumus Rotasi (Perputaran) dengan pusat O(0, 0)
     Secara umum, Rotasi titik A dengan pusat O(0, 0) dan sudut putar α
     dirumuskan sebagai berikut:

    

     dengan:

x’ = x cos α – y cos α

y’ = x sin α + y cos α

     Berikut adalah penjabaran rumus rotasi (perputaran) dengan pusat
     O(0, 0) berdasarkan beberapa sudut yang biasa digunakan:
     
b)   Rumus Rotasi (Perputaran) dengan pusat P(a, b)
     Apabila suatu titik A(x, y) dirotasi sejauh α berlawanan dengan arah
     jarum jam terhadap titik pusat P(a, b), maka bayangannya adalah
     A’(x’, y’) yang dapat dirumuskan sebagai berikut:
     
     dengan:

x’ – a = (x – a) cos α – (y – b) sin α

y’ – b = (x – a) sin α + (y – b) cos α

Contoh:

1. Titik A(-7, 9) dirotasikan terhadap titik O(0, 0). Tentukan hasil rotasi titik A jika dirotasikan:

    a) Sejauh 90° searah jarum jam

    b) Sejauh 180°

    c) Sejauh 270° berlawanan arah jarum jam

2. Tentukan persamaan bayangan garis dari 2x – 3y = 12 oleh rotasi R[O, 180°]!

Jawab:

1. Hasil rotasi titik A:

    

2. Bayangan dari garis 2x – 3y = 12 oleh rotasi R[O, 180°]:

    2x – 3y = 12

    Titik bayangan (-x, -y) sehingga didapat:

> x’ = -x   « x = -x’

> y’ = -y  « y = -y’

    Substitusi ke persamaan:

2x – 3y = 12

2(-x’) – 3(-y’) = 12

-2x’ – (-3y’) = 12

-2x’ + 3y’ = 12

    Jadi, persamaan bayangan garis dari 2x – 3y = 12 oleh rotasi R[O, 180°] adalah -2x + 3y = 12.

LATIHAN SOAL!
1.   Titik A(8, -4) dirotasikan terhadap titik O(0, 0). Tentukan hasil rotasi titik A jika dirotasikan:

           a)  Sejauh 90° berlawanan arah jarum jam

           b)  Sejauh 180°

           c)  Sejauh 270° searah jarum jam

     2.   Tentukan persamaan bayangan garis dari 7x + 4y = 14 oleh rotasi R[O, -90°]!

Pembahasan:
1.  Titik A(8, -4) dirotasikan terhadap titik O(0, 0)

 a)  Sejauh 90° berlawanan arah jarum jam

                  

 b)  Sejauh 180°
     
 c)  Sejauh 270° searah jarum jam

     

2.  Persamaan garis 7x + 4y = 14 oleh rotasi R[O, -90°]

          7x + 4y = 14

          Titik bayangan (y, -x) sehingga didapat:

          > x’ = y   « y = x’

        > y’ = -x  « x = -y’

       Substitusi ke persamaan:

       7x + 4y = 14

       7(-y’) + 4(x’) = 14

       -7y’ + 4x’ = 14

       4x’ – 7y’ = 14

       Jadi, persamaan bayangan garis dari 7x + 4y = 14 oleh rotasi R[O, -90°] adalah 4x – 7y = 14.

Semoga materi, contoh soal, dan latihan soal tentang Rotasi (Perputaran) ini bisa bermanfaat :)

Pelajari materi Dilatasi (Perkalian) disini!

Good luck guys~