MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT DAN APLIKASI PERSAMAAN KUADRAT

A. MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT

• Penyusunan Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-Akarnya

Suatu persamaan kuadrat dapat disusun menggunakan akar-akarnya yang diketahui dengan cara dua cara sebagai berikut:

☆ Perkalian Faktor

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂, maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian faktor sebagai berikut.

(x - x₁)(x - x₂) = 0

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat jika akar-akarnya 1 dan -7!

Jawab:

Akar-akarnya 1 dan -7, sehingga x₁ = 1 dan x₂ = -7

Persamaan Kuadrat:

 (x - x₁)(x - x₂) = 0

(x - 1)(x - (-7)) = 0

   (x - 1)(x + 7) = 0

  x² + 7x - x - 7 = 0

       x² + 6x - 7 = 0

Jadi, persamaan kuadrat jika akar-akarnya 1 dan -7 adalah x² + 6x - 7 = 0.

☆ Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Jika suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar x₁ dan x₂, maka persamaan kuadratnya dapat dinyatakan menggunakan rumus sebagai berikut.

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0

Rumus tersebut juga bisa digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat jika diketahui jumlah dan hasil kali kedua akarnya.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat jika akar-akarnya -1/2 dan 3!

Jawab:

Akar-akarnya -1/2 dan 3, sehingga x₁ = -1/2 dan x₂ = 3

ㆍx₁ + x₂ = -1/2 + 3 = -1/2 + 6/2 = 5/2

ㆍx₁ . x₂ = -1/2 . 3 = -3/2

Persamaan Kuadrat:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0

        x² - (5/2)x + (-3/2) = 0

             x² - (5/2)x - 3/2 = 0

                    2x² - 5x - 3 = 0

Jadi, persamaan kuadrat jika akar-akarnya -1/2 dan 3 adalah 2x² - 5x - 3 = 0.

• Penyusunan Persamaan Kuadrat Jika Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Lainnya

Jika akar-akar suatu persamaan kuadrat mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya, maka persamaan tersebut dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:

Contoh:

Akar-akar persamaan kuadrat 3x² + 6x - 8 = 0 adalah α dan β. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 1/α dan 1/β dengan rumus jumlah dan hasil kali akar!

Jawab:

3x² + 6x - 8 = 0 diperoleh:

a = 3

b = 6

c = -8

sehingga:

α + β = -b/a

         = -6/3

         = -2

α . β = c/a

        = -8/3

Misal persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar x₁ dan x₂, maka x₁ = 1/α dan x₂ = 1/β.

x₁ + x₂ = 1/α + 1/β

            = (α + β)/(α . β)

            = -2/(-8/3)

            = -2 . (-3/8)

            = 6/8

            = 3/4

x₁ . x₂ = 1/α . 1/β 

          = 1/(α . β)

          = 1/-8/3

          = -3/8

Persamaan Kuadrat:

x² - (x₁ + x₂)x + (x₁ . x₂) = 0

         x² - (3/4)x + (-3/8) = 0

              x² - (3/4)x - 3/8 = 0

                     8x² - 6x - 3 = 0

Jadi, persamaan kuadrat jika akar-akarnya 1/α dan 1/β adalah 8x² - 6x - 3 = 0

B. APLIKASI PERSAMAAN KUADRAT

Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan menggunakan konsep persamaan kuadrat.

Contoh:

Sebuah perusahaan tas menjual barangnya seharga Rp75.000,00 per tas. Biaya pembuatan x buah tas didapat persamaan A = x² + 69.000x. Berapa buah tas yang harus diproduksi dan dijual agar mendapatkan laba Rp8.000.000,00?

Penyelesaian:

        Laba = pendapatan - biaya pembuatan

8.000.000 = (harga jual x jumlah yang diproduksi) - biaya pembuatan

8.000.000 = 75.000x - (x² + 69.000x)

8.000.000 = -x² + 75.000x - 69.000x

8.000.000 = -x² + 6.000x

              0 = -x² + 6.000x - 8.000.000

              0 = (x - 4.000)(x - 2.000)

              x - 4.000 = 0 atau x - 2.000 = 0

              x₁ = 4.000     atau x₂ = 2.000

Jadi, agar mendapatkan laba Rp8.000.000,00 harus diproduksi dan dijual sebanyak 4.000 tas atau 2.000 tas.

Semoga materi dan contoh soal tentang Menyusun Persamaan Kuadrat dan Aplikasi Persamaan Kuadrat ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys ~

UKURAN PENYEBARAN : Rumus & Contoh Soal Data Tunggal dan Data Kelompok

A. JANGKAUAN (RANGE)

Jangkauan adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil.

• Jangkauan (Range) Data Tunggal

Untuk data tunggal, jangkauan dirumuskan:

J = Xmaks - Xmin

Contoh:

Tentukan range dari data: 6 10 20 15 3 7 5 8 3 7 9!

Jawab:

Xmaks = 20

Xmin = 3

J = Xmaks - Xmin

   = 20 - 3

   = 17

Jadi, range dari data tersebut adalah 17.

• Jangkauan (Range) Data Kelompok

Untuk data kelompok, nilai tertinggi diambil dari nilai tengah kelas tertinggi dan nilai terendah diambil dari nilai tengah kelas terendah. Jangkauan dirumuskan:

J = Nilai tengah kelas tertinggi - Nilai tengah kelas terendah

Contoh:

Perhatikan tabel berikut!

Tentukan range dari data di atas!

Jawab:

Tabel tersebut menunjukkan data dari 24 orang.

Nilai tengah kelas tertinggi adalah 71 dan nilai tengah kelas terendah adalah 56, maka

J =  nilai tengah kelas tertinggi - nilai tengah kelas terendah

   = 71 - 56

   = 15

Jadi, range dari data tersebut adalah 15.

B. SIMPANGAN RATA-RATA

Simpangan rata-rata adalah ukuran yang menyatakan seberapa besar penyebaran tiap nilai data terhadap nilai rata-ratanya.

• Simpangan Rata-Rata Data Tunggal

Untuk data tunggal, simpangan rata-rata dapat dirumuskan:

Keterangan:

     SR = Simpangan rata-rata

     n = banyaknya data

     xᵢ = data ke-i 

     i = 1, 2, 3, ..., n

     x = rata-rata (mean)

Contoh:

Tentukan simpangan rata-rata dari data: 30 40 50 60 70!

Jawab:

Menentukan rata-rata terlebih dahulu:

Setelah menentukan rata-rata, selanjutnya simpangan rata-rata dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

Jadi, simpangan rata-rata dari data tersebut adalah 12.

• Simpangan Rata-Rata Data Kelompok

Untuk data kelompok atau data dari tabel distribusi frekuensi, simpangan rata-rata dapat dirumuskan:

Keterangan:

     SR = Simpangan rata-rata

     n = banyaknya data

     fᵢ = frekuensi data ke-i

     xᵢ = data ke-i 

     i = 1, 2, 3, ..., n

     x = rata-rata (mean)

Contoh:

Tentukan simpangan rata-rata dari tabel berikut:

Jawab:

Menentukan rata-rata terlebih dahulu:

Setelah menentukan rata-rata, selanjutnya dari tabel tersebut, simpangan rata-rata dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

Jadi, simpangan rata-rata dari tabel tersebut adalah 0,768.

C. VARIANSI (RAGAM)

Variansi (Ragam) adalah rata-rata dari jumlah kuadrat simpangan tiap data.

• Variansi (Ragam) Data Tunggal

Untuk data tunggal, variansi (ragam) dapat dirumuskan:

Keterangan:

     S² = variansi (ragam)

     n = banyaknya data

     xᵢ = data ke-i 

     i = 1, 2, 3, ..., n

     x = rata-rata (mean)

• Variansi (Ragam) Data Kelompok

Untuk data kelompok, variansi (ragam) dapat dirumuskan:

Keterangan:

     S² = variansi (ragam)

     n = banyaknya data

     fᵢ = frekuensi data ke-i

     xᵢ = data ke-i 

     i = 1, 2, 3, ..., n

     x = rata-rata (mean)

D. SIMPANGAN BAKU (STANDART DEVIASI)

Simpangan Baku (Standart Deviasi) adalah nilai akar dari variansi (ragam).

• Simpangan Baku (Standart Deviasi) Data Tunggal

Untuk data tunggal, simpangan baku (standart deviasi) dapat dirumuskan:

Keterangan:

     S = simpangan baku (standart deviasi)

     n = banyaknya data

     xᵢ = data ke-i 

     i = 1, 2, 3, ..., n

     x = rata-rata (mean)

• Simpangan Baku (Standart Deviasi) Data Kelompok

Untuk data kelompok, simpangan baku (standart deviasi) dapat dirumuskan:

Keterangan:

     S = simpangan baku (standart deviasi)

     n = banyaknya data

     fᵢ = frekuensi data ke-i

     xᵢ = data ke-i 

     i = 1, 2, 3, ..., n

     x = rata-rata (mean)

Contoh 1:

Tentukan variansi dan simpangan baku dari data 4 5 6 7 8!

Jawab:

Menentukan rata-rata terlebih dahulu:

Setelah menentukan rata-rata, selanjutnya variansi dan simpangan baku dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

⋆ Variansi

   

⋆ Simpangan Baku

   S = √S²

      = √2

Jadi, variansi dan simpangan baku dari data tersebut adalah 2 dan √2.

Contoh 2:

Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut!

Tentukan variansi dan simpangan baku dari tabel distribusi frekuensi di atas!

Jawab:

Menentukan rata-rata terlebih dahulu:

Setelah menentukan rata-rata, selanjutnya dari tabel tersebut, variansi dan simpangan baku dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

⋆ Variansi

   

⋆ Simpangan Baku

   S = √S²

      = √94,75

      = 9,73

Jadi, variansi dan simpangan baku dari tabel tersebut adalah 94,75 dan 9,73.

Semoga materi dan contoh soal tentang Ukuran Penyebaran ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys ~

BENTUK AKAR : Pengertian, Operasi Hitung, Menyederhanakan, dan Merasionalkan Bentuk Akar

          Bentuk akar adalah bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Bentuk akar termasuk dalam bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan pecahan a/b untuk a, b ∈ bilangan bulat dan a, b ≠ 0. 

          Bilangan dalam bentuk akar adalah bilangan yang terdapat di dalam tanda akar (√). Contoh bilangan irasional dalam bentuk akar, antara lain √2, √3, √5, dan lain-lain. Sedangkan √4 bukan bentuk akar karena √4 = 2 (2 adalah bilangan rasional). Bilangan berpangkat pecahan dapat dituliskan sebagai bentuk akar.

          Secara umum, jika a ∈ R dan m, n ∈ bilangan bulat, maka akar pangkat n dari a^m ditulis sebagai berikut:

Contoh:

A. OPERASI HITUNG BENTUK AKAR

Jika terdapat a, b, c, d ∈ R dan c, d ≥ 0, maka berlaku:

Contoh:

1.  5√2 - 12√2 = (5 - 12)√2

                        = -7√2

2.  3√2 + 2√8 = 3√2 + 2√(4.2)

                       = 3√2 + 2.2√2

                       = 3√2 + 4√2

                       = 7√2

3. (√2 + √3)² = 2 + 3 + 2√(2.3)

                      = 5 + 2√6

4. (√3 + √5)(√3 - √5) = 3 - 5

                                   = -2

B. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR

Jika terdapat a, b ∈ R dan a > b, maka diperoleh:

Contoh:

Sederhanakan bentuk akar !

Penyelesaian:

C. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR PADA PECAHAN

1.  Pecahan 

Rumus:

Contoh:

2.  Pecahan 

Rumus:

Contoh:

3.  Pecahan 

Rumus:

Contoh:

Semoga materi dan contoh soal tentang Operasi Hitung Bentuk Akar, Menyederhanakan Bentuk Akar, dan Merasionalkan Bentuk Akar ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys ~

JUMLAH DAN HASIL KALI AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Misal x₁ dan x₂ adalah akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan a, b, c ∊ R, a ≠ 0, maka berlaku sebagai berikut:

Contoh:

Jika m dan n adalah akar-akar persamaan kuadrat 3x² - 9x - 6 = 0, maka tentukan hasil dari operasi:

1.  m + n

2.  m . n

3.  m² + n²

4.  (m - n)²

5.  m - n

6.  m³ + n³

Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat 3x² - 9x - 6 = 0 diperoleh:

a = 3

b = -9

c = -6

sehingga:

1.  m + n = - b/a

               = - (-9) / 3

               = 9 / 3

               = 3

2.  m . n = c/a

              = (-6) / 3

              = -6 / 3

              = -2

3.  m² + n² = (m + n)² - 2(m . n)

                  = 3² - 2(-2)

                  = 9 + 4

                  = 13

4.  (m - n)² = (m + n)² - 4(m . n)

                  = 3² - 4(-2)

                  = 9 + 8

                  = 17

5.  m - n = √(m - n)²

               = √17

6.  m³ + n³ = (m + n)³ - 3(m . n)(m + n)

                  = 3³ - 3(-2)(3)

                  = 27 + 18

                  = 45

JENIS-JENIS AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Pada persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, dengan a, b, c ∊ R, a ≠ 0, bilangan real b² - 4ac dinamakan DISKRIMINAN atau PEMBEDA dan disimbolkan dengan huruf "D", sehingga:

D = b² - 4ac

Beberapa kemungkinan jenis-jenis akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

• Jika D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda
• Jika D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang sama atau disebut memiliki akar kembar
• Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akar imajiner)

Contoh 1:

Tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat dari 2x² - 7x + 6 = 0!

Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat dari 2x² - 7x + 6 = 0 diperoleh:

a = 2

b = -7

c = 6

kemudian mencari nilai diskriminan:

D = b² - 4ac

    = (-7)² - 4.2.6

    = 49 - 48

    = 1

diperoleh D = 1 yang mana D > 0, maka persamaan kuadrat 2x² - 7x + 6 = 0 memiliki dua akar real yang berbeda.

Contoh 2:

Tentukan nilai m yang memenuhi persamaan kuadrat x² + (m - 2)x + 9 = 0, jika persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar-akar real yang berbeda!

Pembahasan:

Dari persamaan kuadrat x² + (m - 2)x + 9 = 0 diperoleh:

a = 1

b = (m - 2)

c = 9

karena persamaan kuadrat tersebut mempunyai akar-akar real yang berbeda, sehingga syaratnya harus

D > 0, sehingga:

D > 0

b² - 4ac > 0

(m - 2)² - 4.1.9 > 0

(m² - 4m + 4) - 36 > 0

m² - 4m - 32 > 0

(m - 8)(m + 4) > 0

m - 8 = 0 atau m + 4 = 0

     m = 8                m = - 4

Jadi, nilai m yang memenuhi persamaan kuadrat x² + (m - 2)x + 9 = 0 adalah m < -4 atau m > 8.

Semoga materi dan contoh soal tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat dan Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys ~

BILANGAN BERPANGKAT : Pengertian, Sifat, dan Contoh Soal

A. PENGERTIAN BILANGAN BERPANGKAT

Pangkat adalah bentuk perkalian dengan bilangan yang sama secara berulang-berulang. Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan bilangan berpangkat.

Misalkan a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka pangkat n dari a ditulis aⁿ dan dapat didefinisikan sebagai berikut.

dengan aⁿ dibaca a pangkat n, a merupakan bilangan pokok atau dasar dan n disebut pangkat atau eksponen.

B. SIFAT-SIFAT OPERASI BILANGAN BERPANGKAT

Jika a, b, m, n merupakan bilangan Real, a ≠ 0, dan b ≠ 0, maka berlaku sifat:

Contoh:

1.  5³ = 5 x 5 x 5 = 125

2.  2² . 2⁴ = 2²⁺⁴ = 2⁶ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

3.  2⁵ : 2² = 2⁵⁻² = 2³ = 2 x 2 x 2 = 8

4.  (2²)⁴ = 2⁽²⁾⁽⁴⁾ = 2⁸ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 256

5.  (2 . 3)³ = 2³ . 3³ = 8 . 27 = 216

6.  8⁰ = 1

7.  (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27

8.  (3/5)⁻² = (5/3)² = 25/9

C. BENTUK BAKU BILANGAN BERPANGKAT

Notasi ilmiah atau bentuk baku bilangan berpangkat sebagai berikut

a . 10ⁿ dengan 1 ≤ a < 10 dan n ∈ B

Contoh:

1.  27 = 2,7 . 10

2.  900 = 9 . 10²

3.  70.829 = 7,0829 . 10⁴

4.  0,6 = 6 . 10⁻¹

5.  0,0568 = 5,68 . 10⁻²

6.  0,0000707 = 7,07 . 10⁻⁵

CONTOH SOAL!

Semoga materi dan contoh soal tentang Bilangan Berpangkat ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys ~

UKURAN PEMUSATAN : Rumus dan Contoh Soal Data Tunggal dan Data Kelompok

A.  MEAN (RATA-RATA)
Mean (Rata-Rata) adalah jumlah dari seluruh data dibagi dengan banyaknya data (data berupa data kuantitatif).

• Mean Data Tunggal

Jika diketahui data: x₁, x₂, x₃, ..., xn, maka:

Ket:
     Ẋ = mean (rata-rata)
     xᵢ = nilai data ke-i 
     i = 1, 2, 3, ..., n
     n = banyak data yang diamati 
Contoh:
Diketahui data: 7 6 9 4 7 5 8 7 5 8, tentukan mean (rata-rata) dari data tersebut!
Jawab:

Jadi, mean (rata-rata) dari data tersebut adalah 6,6.

• Mean Data Kelompok

Mean dari data kelompok dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

Ket:
     Ẋ = mean (rata-rata)
     xᵢ = nilai data ke-i 
     fᵢ = frekuensi data ke-i
     i = 1, 2, 3, ..., n
     n = banyak data yang diamati 
Contoh:
Hitunglah rata-rata dari data berikut!
 
Jawab:

Dari tabel di atas, diperoleh:

Jadi, mean (rata-rata) dari data tersebut adalah 62,37.

• Mean Gabungan

Untuk menghitung mean gabungan digunakan rumus sebagai berikut:

Ket:
     Ẋ = mean (rata-rata) gabungan
     x₁ = mean (rata-rata) kelompok ke-1
     x₂ = mean (rata-rata) kelompok ke-2
     n₁ = banyaknya data kelompok ke-1
     n₂ = banyaknya data kelompok ke-2
Contoh:
Diketahui rata-rata nilai ujian matematika 45 siswa adalah 65 dan 1 siswa mendapatkan nilai 48. Tentukan rata-rata gabungan dari nilai ujian matematika tersebut!
Jawab:

Jadi, rata-rata gabungan dari nilai ujian matematika tersebut adalah 64,63.
 
B.  MEDIAN (NILAI TENGAH)
Median adalah nilai tengah dari data yang sudah diurutkan.

• Median Data Tunggal

Jika n data yang sudah terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar, x₁, x₂, x₃, ..., xn, maka median (nilai tengah) dari kumpulan data tersebut dapat ditentukan dengan cara:

Contoh:
Tentukan median dari data 7 6 9 4 7 5 8 7 5 8 3!
Jawab:
Data terurut: 3 4 5 5 6 7 7 7 8 8 9
n = 11
Karena n ganjil, maka:
Letak Me = data ke-½ (n + 1)
                = data ke-½ (11 + 1)
                = data ke-½ (12)
                = data ke-6
Me = x₆ = 7
Jadi, median dari data tersebut adalah 7.

• Median Data Kelompok

Untuk data yang tersusun dalam daftar distribusi frekuensi berkelompok, median (nilai tengah) dapat ditentukan dengan rumus:

Ket:
     Me = median
     Tb = tepi bawah kelas median
     Fk = frekuensi kumulatif kelas sebelumnya
     n = banyak data
     p = panjang kelas
     F Me = frekuensi kelas median
Contoh:
Tentukan median dari data berikut!

Jawab:
Berdasarkan data tersebut, didapat:
n = 24
Letak Me = data ke-½.n = data ke-½.24 = data ke-12.
Median terletak pada data ke-12, yaitu pada interval 61-63.
Tb = 61 - 0,5 = 60,5
Fk = 3 + 5 = 8
F Me = 6
p = 3
sehingga:

Jadi, median dari data tersebut adalah 62,5.

C.  MODUS (NILAI YANG SERING MUNCUL)
Modus adalah data yang sering muncul atau memiliki frekensi tertinggi.

• Modus Data Tunggal

Untuk data tunggal, modusnya cukup ditentukan oleh frekuensi terbanyak.
Contoh:
Diketahui data pengukuran berat badan 10 siswa kelas XII sebagai berikut:
55  44  49  50  48  55  51  50  50  45
Tentukan modus dari data tersebut!
Jawab:
55 muncul 2 kali
44 muncul 1 kali
49 muncul 1 kali
50 muncul 3 kali
48 muncul 1 kali
45 muncul 1 kali
51 muncul 1 kali
Karena datum yang memiliki frekuensi tertinggi adalah 50 kg (muncul 3 kali), maka modus data tersebut adalah 50 kg.

• Modus Data Kelompok

Untuk data kelompok, nilai modus dapat ditentukan dengan rumus:

Ket:
     Mo = modus
     Tb = tepi bawah kelas modus
     d₁ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
     d₂ = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
     p = panjang kelas
Contoh:
Tentukan modus dari data berikut!

Jawab:
Berdasarkan data tersebut, didapat:
Tb = 64 - 0,5 = 63,5
d₁ = 7 - 6 = 1
d₂ = 7 - 2 = 5
p = 3
sehingga:

Jadi, modus dari data tersebut adalah 64.

Semoga materi dan contoh soal tentang Ukuran Pemusatan ini bisa bermanfaat :)

Good luck guys ~